Vì hai đường trung tuyến $AM, BN$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Theo Định lí 1, ta có: $GA = \frac{2}{3}AM$.

Mặt khác: $GM = AM - GA = AM - \frac{2}{3}AM = \frac{1}{3}AM$.

Do đó: $\frac{GA}{GM} = \frac{\frac{2}{3}AM}{\frac{1}{3}AM} = 2 \implies GA = 2GM$ (đpcm).

Gọi $AD$ là đường phân giác của góc $A$ ($D \in BC$).

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$ và $\widehat{B} = \widehat{C}$.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có: $AB = AC$, $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (do $AD$ là phân giác), cạnh $AD$ chung.

Do đó $\Delta ABD = \Delta ACD\text{ (c.g.c)} \implies BD = CD$.

Vậy $D$ là trung điểm của cạnh $BC$, suy ra đoạn thẳng $AD$ cũng chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

Mặt khác, theo Định lí 2, giao điểm $I$ của ba đường phân giác nằm trên đường phân giác $AD$. Do đó điểm $I$ nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ (đpcm).

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên theo tính chất ba đường trung tuyến:

• $BG = \frac{2}{3}BN$ và $CG = \frac{2}{3}CP$. Số thích hợp là $\mathbf{\frac{2}{3}}$.
• Vì $BG = \frac{2}{3}BN$ nên $GN = \frac{1}{3}BN \implies BG = 2GN$.
• Tương tự, $CG = \frac{2}{3}CP$ nên $GP = \frac{1}{3}CP \implies CG = 2GP$. Số thích hợp là $\mathbf{2}$.

a) Chiều thuận: Giả sử $\Delta ABC$ cân tại $A$ ($AB = AC$). Gọi $BN, CP$ là hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên.

Ta có $AN = NC = \frac{1}{2}AC$ và $AP = PB = \frac{1}{2}AB$. Do $AB = AC$ nên $NC = PB$.

Xét $\Delta BNC$ và $\Delta CPB$ có: $BC$ là cạnh chung, $\widehat{NBC} = \widehat{PCB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$), $NC = PB$.

Suy ra $\Delta BNC = \Delta CPB\text{ (c.g.c)} \implies BN = CP$ (hai cạnh tương ứng, đpcm).

b) Chiều đảo: Giả sử $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $BN = CP$ cắt nhau tại trọng tâm $G$.

Theo tính chất trọng tâm: $GB = \frac{2}{3}BN$ và $GC = \frac{2}{3}CP$. Do $BN = CP$ nên $GB = GC$.

Suy ra $\Delta GBC$ cân tại $G \implies \widehat{GBC} = \widehat{GCB}$.

Đồng thời $GN = \frac{1}{3}BN = \frac{1}{3}CP = GP$.

Xét $\Delta GNB$ và $\Delta GPC$ có: $GB = GC$, $\widehat{NGB} = \widehat{PGC}$ (đối đỉnh), $GN = GP$.

Suy ra $\Delta GNB = \Delta GPC\text{ (c.g.c)} \implies NB = PC \implies 2NB = 2PC \implies AB = AC$.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ (đpcm).

Trong tam giác $GBC$, cạnh đối diện với $\widehat{GBC}$ là cạnh $GC$, cạnh đối diện với $\widehat{GCB}$ là cạnh $GB$.

Theo giả thiết $\widehat{GBC} > \widehat{GCB}$, áp dụng quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác $GBC$, ta có: $GC > GB$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:

$$GC = \frac{2}{3}CN \quad \text{và} \quad GB = \frac{2}{3}BM$$

Do $GC > GB$ nên $\frac{2}{3}CN > \frac{2}{3}BM \implies CN > BM$.

Kết luận: $CN > BM$ (đường trung tuyến $CN$ dài hơn đường trung tuyến $BM$).

Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên:

$$\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Vì $I$ là giao điểm của ba đường phân giác nên $BI$ và $CI$ là phân giác của $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$:

$$\widehat{IBC} = \frac{1}{2}\widehat{ABC}, \quad \widehat{ICB} = \frac{1}{2}\widehat{ACB} \implies \widehat{IBC} + \widehat{ICB} = \frac{1}{2}(\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$

Xét tam giác $IBC$, ta có:

$$\widehat{BIC} = 180^\circ - (\widehat{IBC} + \widehat{ICB}) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$

Đáp số: $\widehat{BIC} = 150^\circ$.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

Do $BE$ và $CF$ là hai tia phân giác của $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ nên:

$$\widehat{EBC} = \frac{1}{2}\widehat{ABC} = \frac{1}{2}\widehat{ACB} = \widehat{FCB}$$

Xét hai tam giác $\Delta EBC$ và $\Delta FCB$ có:

• $\widehat{EBC} = \widehat{FCB}$ (chứng minh trên)
• Cạnh $BC$ chung
• $\widehat{ECB} = \widehat{FBC}$ (do $\widehat{ACB} = \widehat{ABC}$)

Suy ra $\Delta EBC = \Delta FCB\text{ (g.c.g)}$.

Do đó $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng, đpcm).

a) Điểm $D$ nằm trên tia phân giác của góc $B$, mà $DP \perp BC, DR \perp AB$. Mọi điểm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó, nên $DP = DR$.

(Hoặc xét hai tam giác vuông $\Delta DBP$ và $\Delta DBR$ có cạnh huyền $BD$ chung, $\widehat{DBP} = \widehat{DBR} \implies \Delta DBP = \Delta DBR\text{ (cạnh huyền - góc nhọn)} \implies DP = DR$).

b) Tương tự, điểm $D$ nằm trên tia phân giác của góc $C$, mà $DP \perp BC, DQ \perp CA$ nên $DP = DQ$.

c) Vì $DP = DR$ và $DP = DQ$ nên suy ra $DR = DQ$.

Điểm $D$ nằm bên trong góc $A$ và cách đều hai cạnh $AB, AC$ ($DR = DQ$). Điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Do đó, điểm $D$ nằm trên tia phân giác của góc $A$.

Như vậy, tia phân giác của góc $A$ cũng đi qua điểm $D$. Vậy ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua điểm $D$ và $D$ cách đều ba cạnh ($DP = DQ = DR$).