a) Hai tam giác $AIB$ và $AIC$ có:

$AB = AC$ (giả thiết), $IB = IC$ (do $AI$ là trung tuyến), cạnh $AI$ chung.

Do đó $\Delta AIB = \Delta AIC\text{ (c.c.c)}$.

Suy ra $\widehat{AIB} = \widehat{AIC}$. Mà $\widehat{AIB}$ và $\widehat{AIC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 90^\circ \implies AI \perp BC$.

Vì $AI$ đi qua trung điểm $I$ của $BC$ và vuông góc với $BC$ nên $AI$ là đường trung trực của cạnh $BC$.

b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ là giao điểm của ba đường trung trực, do đó điểm này bắt buộc phải nằm trên đường trung trực $AI$ của cạnh $BC$.

Xét tam giác $HBC$:

• Đường cao kẻ từ đỉnh $H$ vuông góc với cạnh $BC$: chính là đường thẳng $HA$ (vì $AH$ là đường cao của $\Delta ABC \implies AH \perp BC$).
• Đường cao kẻ từ đỉnh $B$ vuông góc với cạnh $HC$: chính là đường thẳng $BA$ (vì $CH$ là đường cao của $\Delta ABC \implies CH \perp AB \implies BA \perp HC$).
• Đường cao kẻ từ đỉnh $C$ vuông góc với cạnh $HB$: chính là đường thẳng $CA$ (vì $BH$ là đường cao của $\Delta ABC \implies BH \perp AC \implies CA \perp HB$).

Ba đường cao $HA, BA, CA$ của tam giác $HBC$ cùng cắt nhau tại điểm $A$.

✓ Do đó, trực tâm của tam giác $HBC$ chính là điểm $A$.

Lập luận hoàn toàn tương tự:

• Trực tâm của tam giác $HCA$ chính là điểm $\mathbf{B}$.
• Trực tâm của tam giác $HAB$ chính là điểm $\mathbf{C}$.

Vì $\widehat{A} = 100^\circ > 90^\circ$ nên tam giác $ABC$ tù tại $A$, do đó trực tâm $H$ nằm ngoài tam giác $ABC$.

Kẻ đường cao $BD \perp AC$ ($D \in AC$) và đường cao $CE \perp AB$ ($E \in AB$). Giao điểm của $BD$ và $CE$ là trực tâm $H$.

Xét tứ giác $AEHD$ có: $\widehat{AEH} = 90^\circ$ và $\widehat{ADH} = 90^\circ$.

Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^\circ$, nên:

$$\widehat{EHD} = 360^\circ - \widehat{AEH} - \widehat{ADH} - \widehat{EAD} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \widehat{EAD} = 180^\circ - \widehat{EAD}$$

Mà hai góc $\widehat{EAD}$ và $\widehat{BAC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{EAD} = \widehat{BAC} = 100^\circ$.

Suy ra: $\widehat{BHC} = \widehat{EHD} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Đáp số: $\widehat{BHC} = 80^\circ$.

Giả sử điểm $O$ nằm trên cạnh $BC$.

Vì điểm $O$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ nên $OA = OB = OC$.

Do $O$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ và $OB = OC$ nên $O$ chính là trung điểm của cạnh $BC$.

Khi đó đoạn thẳng $AO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$, và có độ dài:

$$AO = OB = OC = \frac{1}{2}BC$$

Ta biết rằng: trong một tam giác, nếu đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

(Hoặc chứng minh: $\Delta OAB$ cân tại $O \implies \widehat{OBA} = \widehat{OAB}$; $\Delta OAC$ cân tại $O \implies \widehat{OCA} = \widehat{OAC}$. Khi đó $\widehat{BAC} = \widehat{OAB} + \widehat{OAC} = \widehat{B} + \widehat{C}$. Mà $\widehat{BAC} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \implies 2\widehat{BAC} = 180^\circ \implies \widehat{BAC} = 90^\circ$).

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (đpcm).

a) Cách xác định bán kính của chi tiết máy bị gãy:

• Lấy ba điểm phân biệt tùy ý $A, B, C$ trên cung tròn còn lại của đường viền ngoài chi tiết máy.
• Dùng thước và compa dựng đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.
• Giao điểm $O$ của hai đường trung trực này chính là tâm của đường tròn chứa đường viền ngoài của chi tiết máy.
• Đo độ dài đoạn thẳng $OA$ (hoặc $OB, OC$), ta được bán kính $R$ cần tìm.

b) Vị trí quy hoạch trường học:

Điểm $M$ cách đều ba khu dân cư $A, B, C$ nghĩa là $MA = MB = MC$.

Điểm $M$ chính là giao điểm các đường trung trực của tam giác $ABC$ tạo bởi ba khu dân cư.

Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên:

• Đường thẳng $BH$ vuông góc với cạnh $AC$ (tức là $BH \perp c$).
• Đường thẳng $CH$ vuông góc với cạnh $AB$ (tức là $CH \perp b$).

Cách dựng điểm $B$ và điểm $C$:

1. Qua điểm $H$, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $c$, cắt đường thẳng $b$ tại điểm $B$.
2. Qua điểm $H$, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $b$, cắt đường thẳng $c$ tại điểm $C$.

Khi đó đoạn thẳng $BH \perp AC$ và đoạn thẳng $CH \perp AB$. Tam giác $ABC$ có hai đường cao xuất phát từ $B$ và $C$ cắt nhau tại $H$, do đó $H$ chính là trực tâm của tam giác $ABC$.