Luyện tập chung trang 82
Luyện tập các định lí đồng quy của bốn loại đường trong tam giác: trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao.
Luyện tập chung (Trang 82 SGK Toán 7 Tập 2)
Tổng hợp & Nâng cao: Bốn đường đồng quy và các bài toán hình học đặc sắc
Giao điểm 3 đường trung tuyến. Cách đỉnh bằng $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến. Chia tam giác thành 3 phần có diện tích bằng nhau.
Giao điểm 3 đường phân giác. Cách đều 3 cạnh tam giác: $IH = IK = IL = r$. Là tâm đường tròn nội tiếp.
Giao điểm 3 đường trung trực. Cách đều 3 đỉnh tam giác: $OA = OB = OC = R$. Trong tam giác vuông, $O$ là trung điểm cạnh huyền.
Giao điểm 3 đường cao. Tam giác nhọn: $H$ bên trong; vuông: $H$ tại đỉnh góc vuông; tù: $H$ nằm bên ngoài.
Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$ cũng là đường phân giác thì $ABC$ là tam giác cân tại $A$.
Giả thiết (GT): $\Delta ABC, BM = CM, \widehat{BAM} = \widehat{CAM}$.
Kết luận (KL): $AB = AC$.
💡 Phương pháp vẽ thêm hình phụ: Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $E$ sao cho $ME = MA$.
Xem chứng minh chi tiết
Trên đường thẳng $AM$, lấy điểm $E$ sao cho $M$ nằm giữa $A, E$ và $AM = EM$.
Xét hai tam giác $\Delta BAM$ và $\Delta CEM$ có: $AM = EM$, $\widehat{BMA} = \widehat{CME}$ (đối đỉnh), $BM = CM$ (giả thiết).
Do đó $\Delta BAM = \Delta CEM\text{ (c.g.c)} \implies AB = EC$ và $\widehat{BAM} = \widehat{CEM}$.
Mặt khác, $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (vì $AM$ là phân giác), suy ra $\widehat{CEM} = \widehat{CAM}$.
Tam giác $CAE$ có $\widehat{CEA} = \widehat{CAE}$ nên là tam giác cân tại $C$, tức là $CE = CA$.
Vì $AB = EC$ và $CE = CA$ nên suy ra $AB = AC$.
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ (đpcm).
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC} = 135^\circ$, ba đường cao $AI, BJ, CK$ và trực tâm $H$ (Hình 9.50). Chứng minh rằng:
- a) Tam giác $AKC$ vuông cân, từ đó suy ra $AK = CK$.
- b) Hai tam giác $HAK$ và $BCK$ bằng nhau, từ đó suy ra $AH = BC$.
Xem chứng minh chi tiết
a) Ta có $\widehat{KAC}$ và $\widehat{CAB}$ là hai góc kề bù, $\widehat{BAC} = 135^\circ$ nên:
$$\widehat{KAC} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$
Tam giác $KAC$ vuông tại $K$ có $\widehat{KAC} = 45^\circ$ nên $\widehat{KCA} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Do đó tam giác $KAC$ vuông cân tại $K \implies AK = CK$.
b) Tam giác $AHK$ vuông tại $K$ nên $\widehat{HAK} + \widehat{H_1} = 90^\circ$.
Tam giác $HIC$ vuông tại $I$ nên $\widehat{HCB} + \widehat{H_1} = 90^\circ$.
Do đó $\widehat{HAK} = \widehat{HCB}$ (cùng phụ với $\widehat{H_1}$).
Xét hai tam giác vuông $\Delta HAK$ và $\Delta BCK$ có:
- $AK = CK$ (chứng minh câu a)
- $\widehat{HAK} = \widehat{BCK}$ (chứng minh trên)
- $\widehat{AKH} = \widehat{CKB} = 90^\circ$
Do đó $\Delta HAK = \Delta BCK\text{ (g.c.g)} \implies AH = BC$ (hai cạnh tương ứng, đpcm).
Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.
Xem lời giải chi tiết
Giả sử tam giác $ABC$ có đoạn thẳng $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh $A$.
Vì $AM$ là đường trung tuyến nên $M$ là trung điểm của cạnh $BC \implies BM = MC$.
Vì $AM$ là đường cao nên $AM \perp BC \implies \widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$.
Xét hai tam giác vuông $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:
- Cạnh $AM$ chung
- $BM = CM$ (chứng minh trên)
Do đó $\Delta ABM = \Delta ACM\text{ (hai cạnh góc vuông)} \implies AB = AC$ (hai cạnh tương ứng).
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ (đpcm).
Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng $A, B, C$. Gọi $d$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $A$. Với điểm $M$ thuộc $d, M \neq A$, vẽ đường thẳng $CM$. Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $CM$, cắt $d$ tại $N$. Chứng minh đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $CN$.
Xem lời giải chi tiết
Xét tam giác $BCM$ có:
- Vì $d \perp AB$ mà $A, B, C$ thẳng hàng nên $d \perp BC$. Vì $M, A \in d$ nên $MA \perp BC$. Do đó đoạn thẳng $MA$ chính là đường cao hạ từ đỉnh $M$ xuống cạnh $BC$.
- Theo giả thiết, đường thẳng qua $B$ vuông góc với $CM$ tại một điểm, nên đường thẳng này chính là đường cao thứ hai hạ từ đỉnh $B$ xuống cạnh $CM$.
Hai đường cao $MA$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc với $CM$ cắt nhau tại điểm $N$ (vì $N$ thuộc $d$).
Do đó điểm $N$ chính là trực tâm của tam giác $BCM$.
Trong một tam giác, đường thẳng nối đỉnh với trực tâm thì vuông góc với cạnh đối diện.
Vì $N$ là trực tâm của tam giác $BCM$ nên đường thẳng $CN$ vuông góc với cạnh đối diện $BM$, tức là $BM \perp CN$ (đpcm).
Có một mảnh tôn hình tròn cần đục một lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?
Xem các bước thực hiện
Để xác định tâm của mảnh tôn hình tròn, ta thực hiện các bước sau:
- Lấy ba điểm phân biệt tùy ý $A, B, C$ trên đường viền mép ngoài của mảnh tôn hình tròn.
- Dùng thước và compa dựng đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
- Tiếp tục dựng đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.
- Hai đường trung trực này cắt nhau tại một điểm $O$. Điểm $O$ này cách đều ba điểm $A, B, C$ ($OA = OB = OC$).
Điểm $O$ chính là tâm của hình tròn mảnh tôn, là vị trí cần đục lỗ.
Cho tam giác $ABC$. Kẻ tia phân giác $At$ của góc tạo bởi tia $AB$ và tia đối của tia $AC$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia $At$ song song với đường thẳng $BC$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Xem lời giải chi tiết
Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AC$. Góc $\widehat{xAB}$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
Vì tia $At$ là tia phân giác của $\widehat{xAB}$ nên:
$$\widehat{xAt} = \widehat{tAB} = \frac{1}{2}\widehat{xAB}$$
Vì đường thẳng chứa tia $At$ song song với đường thẳng $BC$ nên:
- $\widehat{xAt} = \widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị)
- $\widehat{tAB} = \widehat{ABC}$ (hai góc so le trong)
Mà $\widehat{xAt} = \widehat{tAB}$ nên suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
Tam giác $ABC$ có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác $ABC$ cân tại $A$ (đpcm).
Kí hiệu $S_{ABC}$ là diện tích tam giác $ABC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC, M$ là trung điểm của $BC$.
- a) Chứng minh $S_{GBC} = \frac{1}{3}S_{ABC}$. (Gợi ý: Sử dụng $GM = \frac{1}{3}AM$ để chứng minh $S_{GBM} = \frac{1}{3}S_{ABM}, S_{GCM} = \frac{1}{3}S_{ACM}$).
- b) Chứng minh $S_{GCA} = S_{GAB} = \frac{1}{3}S_{ABC}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Hai tam giác $GBM$ và $ABM$ có chung cạnh đáy $BM$, và đường cao kẻ từ $G$ đến $BM$ bằng $\frac{1}{3}$ đường cao kẻ từ $A$ đến $BM$ (vì $G \in AM$ và $GM = \frac{1}{3}AM$).
Do đó: $S_{GBM} = \frac{1}{3}S_{ABM}$.
Tương tự với hai tam giác $GCM$ và $ACM$ có chung đáy $CM$: $S_{GCM} = \frac{1}{3}S_{ACM}$.
Cộng hai vế ta được:
$$S_{GBC} = S_{GBM} + S_{GCM} = \frac{1}{3}(S_{ABM} + S_{ACM}) = \frac{1}{3}S_{ABC}\text{ (đpcm)}.$$
b) Chứng minh hoàn toàn tương tự bằng cách sử dụng các đường trung tuyến $BN$ và $CP$, ta có:
$$S_{GCA} = \frac{1}{3}S_{ABC} \quad \text{và} \quad S_{GAB} = \frac{1}{3}S_{ABC}$$
Vậy: $S_{GBC} = S_{GCA} = S_{GAB} = \frac{1}{3}S_{ABC}$.