Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác
Mô tả đầy đủ các yếu tố đỉnh, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy của hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác. Nắm vững công thức diện tích xung quanh S_xq = C . h và thể tích V = S . h kèm theo các bài toán thực tiễn phong phú.
- Hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác.
- Đỉnh, cạnh đáy, cạnh bên, mặt đáy, mặt bên, chiều cao.
- Diện tích xung quanh, thể tích của lăng trụ đứng.
- Mô tả các yếu tố cơ bản của hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác.
- Tạo lập được hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác.
- Tính được diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ đứng.
- Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với diện tích xung quanh và thể tích.
Tình huống mở đầu
Các đồ vật quen thuộc như chiếc lịch để bàn hình tam giác, chiếc lều vải cắm trại hay hộp bánh quy hình lăng trụ có những đặc điểm hình học gì đặc biệt? Làm thế nào để tính lượng vải bạt cần dùng để dựng lều hoặc dung tích của các khối hình đó? Chúng ta cùng khám phá qua bài học này.
Một số yếu tố cơ bản của hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác
Hoạt động 1 (Quan sát và nhận biết)
Quan sát hình ảnh lăng trụ đứng tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ (Hình 10.19) và hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ (Hình 10.20) và gọi tên các đỉnh, các cạnh đáy, cạnh bên, các mặt đáy và các mặt bên.
Xem lời giải chi tiết
Với hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$:
- 6 đỉnh: $A, B, C, A', B', C'$.
- 2 mặt đáy: Tam giác $ABC$ và tam giác $A'B'C'$ (hai đáy song song và bằng nhau).
- 3 mặt bên: Các hình chữ nhật $ABB'A', BCC'B', ACC'A'$.
- 3 cạnh bên: $AA', BB', CC'$ (song song và bằng nhau, độ dài là chiều cao $h$).
- 6 cạnh đáy: $AB, BC, CA, A'B', B'C', C'A'$.
Với hình lăng trụ đứng tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$:
- 8 đỉnh; 2 mặt đáy là tứ giác $ABCD$ và $A'B'C'D'$; 4 mặt bên là các hình chữ nhật; 4 cạnh bên song song và bằng nhau.
• Hình lăng trụ đứng tam giác có $2$ mặt đáy là hai hình tam giác song song và bằng nhau; các mặt bên là các hình chữ nhật; các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Hình lăng trụ đứng tứ giác có $2$ mặt đáy là hai hình tứ giác song song và bằng nhau; các mặt bên là các hình chữ nhật; các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Độ dài của một cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng
Công thức tính Diện tích xung quanh & Thể tích
$$S_{xq} = C \cdot h$$
Trong đó: $C$ là chu vi đáy, $h$ là chiều cao lăng trụ.
$$V = S \cdot h$$
Trong đó: $S$ là diện tích một mặt đáy, $h$ là chiều cao lăng trụ.
Ví dụ 2 (SGK trang 96): Tính diện tích làm lịch để bàn
Một chiếc lịch để bàn bằng bìa cứng có dạng hình lăng trụ đứng tam giác cân. Hai cạnh bên của đáy dài $20\text{ cm}$, cạnh đáy dài $7\text{ cm}$. Chiều cao của lăng trụ (chiều dài lịch) là $25\text{ cm}$. Tính diện tích xung quanh của chiếc lịch để bàn đó.
Xem lời giải chi tiết
Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng tam giác là:
$$C = 20 + 20 + 7 = 47\text{ (cm)}$$
Diện tích xung quanh của chiếc lịch để bàn là:
$$S_{xq} = C \cdot h = 47 \cdot 25 = 1175\text{ (cm}^2\text{)}$$
Luyện tập 1: Chiếc lều cắm trại chữ A
Một chiếc lều chữ A (Hình 10.26) có dạng hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều cạnh $2\text{ m}$, chiều dài của lều là $5\text{ m}$. Tính diện tích vải bạt xung quanh lều (bao gồm cả đáy nếu phủ kín).
Xem lời giải chi tiết
Chu vi đáy tam giác đều cạnh $2\text{ m}$ là:
$$C = 2 + 2 + 2 = 6\text{ (m)}$$
Diện tích xung quanh của lều (3 mặt bên chữ nhật) là:
$$S_{xq} = C \cdot h = 6 \cdot 5 = 30\text{ (m}^2\text{)}$$
Lưu ý: Nếu chỉ tính hai mái lều che mưa nắng (không tính sàn đất), diện tích hai mái lều là: $2 \cdot (2 \cdot 5) = 20\text{ m}^2$.
Vận dụng 1: Sơn khúc gỗ chặn bánh xe
Một khúc gỗ chặn bánh xe ô tô (Hình 10.27) có dạng hình lăng trụ đứng đáy là hình thang cân: hai đáy dài $15\text{ cm}$ và $30\text{ cm}$, hai cạnh bên mỗi cạnh dài $15\text{ cm}$, chiều dài khúc gỗ là $60\text{ cm}$. Người ta muốn sơn xung quanh các mặt bên của khúc gỗ với chi phí $20\ 000\text{ đồng/m}^2$. Tính số tiền cần trả.
Xem lời giải chi tiết
Chu vi đáy hình thang cân là:
$$C = 15 + 30 + 15 + 15 = 75\text{ (cm)}$$
Diện tích xung quanh của khúc gỗ là:
$$S_{xq} = C \cdot h = 75 \cdot 60 = 4500\text{ (cm}^2\text{)} = 0{,}45\text{ (m}^2\text{)}$$
Số tiền sơn các mặt bên xung quanh là:
$$0{,}45 \cdot 20\ 000 = 9\ 000\text{ (đồng)}$$
Ví dụ 3: Thể tích lăng kính thủy tinh
Một lăng kính được làm bằng thuỷ tinh có dạng một hình lăng trụ đứng tam giác (Hình 10.28). Đáy là tam giác có một cạnh $10\text{ cm}$ và chiều cao tương ứng là $8{,}7\text{ cm}$. Chiều cao của lăng trụ là $20\text{ cm}$. Tính thể tích thuỷ tinh dùng để làm lăng kính.
Xem lời giải chi tiết
Diện tích đáy tam giác là:
$$S_{\text{đáy}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8{,}7 = 43{,}5\text{ (cm}^2\text{)}$$
Thể tích thuỷ tinh dùng làm lăng kính là:
$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 43{,}5 \cdot 20 = 870\text{ (cm}^3\text{)}$$
Luyện tập 2: Thể tích khay đựng linh kiện
Một chiếc khay đựng linh kiện bằng nhựa (Hình 10.29) có dạng hình lăng trụ đứng đáy là hình thang vuông với độ dài hai cạnh đáy là $30\text{ cm}, 40\text{ cm}$, chiều cao hình thang là $15\text{ cm}$ và chiều dài khay (chiều cao lăng trụ) là $20\text{ cm}$. Tính thể tích của chiếc khay.
Xem lời giải chi tiết
Diện tích đáy hình thang vuông là:
$$S_{\text{đáy}} = \frac{(30 + 40) \cdot 15}{2} = 525\text{ (cm}^2\text{)}$$
Thể tích của chiếc khay đựng linh kiện là:
$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 525 \cdot 20 = 10\ 500\text{ (cm}^3\text{)}$$
Thử thách nhỏ: Dung tích nước của bể bơi
Một bể bơi có hình dạng và kích thước như Hình 10.30, được ghép bởi một hình hộp chữ nhật và một hình lăng trụ đứng tam giác. Chiều rộng bể là $10\text{ m}$, chiều dài $25\text{ m}$, đầu sâu $4\text{ m}$ (đoạn phẳng dài $7\text{ m}$), đầu nông sâu $2\text{ m}$. Khi bể bơi đầy ắp nước thì nó chứa bao nhiêu mét khối nước?
Xem lời giải chi tiết
Xem bể bơi là một hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng chiều rộng của bể là $h = 10\text{ m}$, đáy lăng trụ chính là mặt bên dọc theo chiều dài bể.
Mặt bên của bể được chia thành 3 phần:
- Hình chữ nhật phía trên (nước nông bề mặt): dài $25\text{ m}$, cao $2\text{ m}$ $\implies S_1 = 25 \cdot 2 = 50\text{ m}^2$.
- Hình chữ nhật phần nước sâu đáy phẳng: dài $7\text{ m}$, cao $4 - 2 = 2\text{ m}$ $\implies S_2 = 7 \cdot 2 = 14\text{ m}^2$.
- Hình tam giác dốc: đáy dài $25 - 7 = 18\text{ m}$, chiều cao $2\text{ m}$ $\implies S_3 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 2 = 18\text{ m}^2$.
Diện tích toàn bộ mặt bên (đáy của khối lăng trụ) là:
$$S_{\text{đáy}} = 50 + 14 + 18 = 82\text{ (m}^2\text{)}$$
Thể tích nước khi bể đầy ắp là:
$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 82 \cdot 10 = 820\text{ (m}^3\text{)}$$
Bài tập cuối bài trong Sách Giáo Khoa
Quan sát Hình 10.31 và gọi tên các mặt đáy, mặt bên, cạnh đáy, cạnh bên của hình lăng trụ đứng tam giác.
Xem lời giải chi tiết
• Hai mặt đáy: Tam giác $ABC$ và tam giác $NMP$.
• Ba mặt bên: Các hình chữ nhật $ABMN, BCPM, ACNP$.
• Sáu cạnh đáy: $AB, BC, CA, NM, MP, PN$.
• Ba cạnh bên: $AN, BM, CP$.
Quan sát Hình 10.32 và cho biết cạnh nào trong các cạnh ①, ②, ③ ghép với cạnh $AB$ để có được hình lăng trụ đứng?
Xem lời giải chi tiết
Khi gấp tấm bìa lại theo các đường nếp gấp:
Mặt đáy tam giác chứa cạnh $AB$ gập lên vuông góc với mặt bên, khi đó cạnh ③ (cạnh mép của hình chữ nhật bên cạnh) sẽ khớp và ghép vừa khít với cạnh $AB$.
Đáp án: Cạnh ③ ghép với cạnh $AB$.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng trong Hình 10.33 (đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $6\text{ cm}, 8\text{ cm}$, cạnh huyền $10\text{ cm}$, chiều cao lăng trụ là $15\text{ cm}$).
Xem lời giải chi tiết
Chu vi đáy tam giác là:
$$C = 6 + 8 + 10 = 24\text{ (cm)}$$
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:
$$S_{xq} = C \cdot h = 24 \cdot 15 = 360\text{ (cm}^2\text{)}$$
Diện tích mặt đáy tam giác vuông là:
$$S_{\text{đáy}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{ (cm}^2\text{)}$$
Thể tích của hình lăng trụ đứng là:
$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 24 \cdot 15 = 360\text{ (cm}^3\text{)}$$
Thùng một chiếc máy nông nghiệp có dạng hình lăng trụ đứng tứ giác như Hình 10.34. Đáy của hình lăng trụ đứng này (mặt bên của thùng) là một hình thang vuông có độ dài đáy lớn $3\text{ m}$, đáy nhỏ $1{,}5\text{ m}$, chiều cao $1{,}5\text{ m}$. Hỏi thùng có dung tích bao nhiêu mét khối?
Xem lời giải chi tiết
Hình lăng trụ đứng có mặt đáy là hình thang vuông với đáy lớn $3\text{ m}$, đáy nhỏ $1{,}5\text{ m}$, chiều cao $1{,}5\text{ m}$, và chiều cao của lăng trụ (chiều rộng thùng) là $h = 2\text{ m}$.
Diện tích đáy hình thang vuông là:
$$S_{\text{đáy}} = \frac{(3 + 1{,}5) \cdot 1{,}5}{2} = \frac{4{,}5 \cdot 1{,}5}{2} = 3{,}375\text{ (m}^2\text{)}$$
Dung tích của thùng máy nông nghiệp là:
$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 3{,}375 \cdot 2 = 6{,}75\text{ (m}^3\text{)}$$
Một hình gồm hai hình lăng trụ đứng ghép lại với các kích thước như ở Hình 10.35. Tính thể tích của hình ghép.
Xem lời giải chi tiết
Hình ghép gồm hai phần lăng trụ đứng có cùng chiều cao $h = 8\text{ cm}$:
- Phần 1: Hình hộp chữ nhật (lăng trụ đứng tứ giác) kích thước đáy $10\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ và chiều cao $8\text{ cm}$.
$$V_1 = 10 \cdot 5 \cdot 8 = 400\text{ (cm}^3\text{)}$$ - Phần 2: Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông kích thước $3\text{ cm} \times 5\text{ cm}$, chiều cao $8\text{ cm}$.
$$V_2 = \left(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5\right) \cdot 8 = 7{,}5 \cdot 8 = 60\text{ (cm}^3\text{)}$$
Thể tích của toàn bộ khối hình ghép là:
$$V = V_1 + V_2 = 400 + 60 = 460\text{ (cm}^3\text{)}$$
Một hộp đựng khẩu trang y tế được làm bằng bìa cứng có dạng một hình hộp chữ nhật, kích thước như Hình 10.36: chiều dài $20\text{ cm}$, chiều rộng $10\text{ cm}$, chiều cao $8\text{ cm}$.
a) Hãy tính thể tích của hộp.
b) Tính diện tích bìa cứng dùng để làm hộp (bỏ qua mép dán).
Xem lời giải chi tiết
a) Thể tích của hộp đựng khẩu trang là:
$$V = 20 \cdot 10 \cdot 8 = 1600\text{ (cm}^3\text{)}$$
b) Diện tích bìa cứng dùng làm hộp chính là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:
$$S_{tp} = 2 \cdot (20 \cdot 10 + 20 \cdot 8 + 10 \cdot 8) = 2 \cdot (200 + 160 + 80) = 2 \cdot 440 = 880\text{ (cm}^2\text{)}$$
