b) Tính giá trị của tử số và mẫu số:

• Tử số: $3^2 - 0{,}25 \cdot (7{,}5 - 5{,}1) = 9 - 0{,}25 \cdot 2{,}4 = 9 - 0{,}6 = 8{,}4$.
• Mẫu số: $-6{,}2 + 2 \cdot (0{,}5 + 1{,}6) = -6{,}2 + 2 \cdot 2{,}1 = -6{,}2 + 4{,}2 = -2$.

Do đó: $$\frac{3^2 - 0{,}25 \cdot (7{,}5 - 5{,}1)}{-6{,}2 + 2 \cdot (0{,}5 + 1{,}6)} = \frac{8{,}4}{-2} = -4{,}2.$$

b) Chú ý rằng $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$. Đặt thừa số chung là $\left(-\frac{2}{3}\right)$: $$\begin{aligned} 2\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 2\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3}\right)^2 &= \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left[ 2\frac{3}{5} - 2\frac{1}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right) \right] \\ &= \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left[ \frac{13}{5} - \left(2\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) \right] \\ &= \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left( \frac{13}{5} - 3 \right) = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{4}{15}. \end{aligned}$$

b) Tính giá trị vế phải: $$-\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = -\left(\frac{3 - 2}{6}\right) = -\frac{1}{6}.$$ Khi đó ta có: $$|x| + \frac{1}{5} = -\frac{1}{6} \implies |x| = -\frac{1}{6} - \frac{1}{5} = -\frac{5 + 6}{30} = -\frac{11}{30}.$$ Vì $|x| \ge 0$ với mọi số thực $x$, mà $-\frac{11}{30} < 0$ nên không có số $x$ nào thoả mãn điều kiện đề bài.

c) Ước tính:

• Vì $3^2 = 9 < 13$ và $4^2 = 16 > 13$ nên $3 < x < 4$.
• Thử các giá trị: $3{,}5^2 = 12{,}25$; $3{,}6^2 = 12{,}96$; $3{,}7^2 = 13{,}69$.
• Nhận thấy $12{,}96$ rất gần $13$, nên ước tính $x \approx 3{,}6$.
• Dùng máy tính cầm tay: $\sqrt{13} \approx 3{,}60555...$ làm tròn đến hàng phần chục là $3{,}6$.
• Độ chênh lệch: $|3{,}60555 - 3{,}6| \approx 0{,}00555$ (rất nhỏ, dưới 1 phần trăm).

b) Tính tổng $A + B$: $$A + B = (6x^3 - 4x^2 - 12x - 7) + (2x^2 - 7) = 6x^3 - 2x^2 - 12x - 14.$$ Tại $x = -2$: $$(A + B)(-2) = 6(-2)^3 - 2(-2)^2 - 12(-2) - 14 = 6(-8) - 2(4) + 24 - 14 = -48 - 8 + 24 - 14 = -46.$$

c) Tính hiệu $A - B$: $$A - B = (6x^3 - 4x^2 - 12x - 7) - (2x^2 - 7) = 6x^3 - 6x^2 - 12x.$$ Thay lần lượt các giá trị của $x$:

• Tại $x = 0$: $(A - B)(0) = 6(0)^3 - 6(0)^2 - 12(0) = 0$.
• Tại $x = -1$: $(A - B)(-1) = 6(-1)^3 - 6(-1)^2 - 12(-1) = -6 - 6 + 12 = 0$.
• Tại $x = 2$: $(A - B)(2) = 6(2)^3 - 6(2)^2 - 12(2) = 6(8) - 6(4) - 24 = 48 - 24 - 24 = 0$.

Vậy $x = 0, x = -1, x = 2$ đều là nghiệm của đa thức $A - B$.

d) Thực hiện phép nhân $A \cdot B$:

Cách 1 (Nhân từng hạng tử):

$$\begin{aligned} A \cdot B &= (6x^3 - 4x^2 - 12x - 7)(2x^2 - 7) \\ &= 2x^2(6x^3 - 4x^2 - 12x - 7) - 7(6x^3 - 4x^2 - 12x - 7) \\ &= (12x^5 - 8x^4 - 24x^3 - 14x^2) - (42x^3 - 28x^2 - 84x - 49) \\ &= 12x^5 - 8x^4 - 66x^3 + 14x^2 + 84x + 49. \end{aligned}$$

Cách 2 (Đặt tính theo cột dọc): Xếp theo lũy thừa giảm dần rồi nhân tương tự số tự nhiên, kết quả đạt được hoàn toàn trùng khớp $12x^5 - 8x^4 - 66x^3 + 14x^2 + 84x + 49$.

e) Chia đa thức $A$ cho đa thức $B$: $$\begin{aligned} 6x^3 - 4x^2 - 12x - 7 &= 3x(2x^2 - 7) - 2(2x^2 - 7) + (9x - 21) \\ &= (3x - 2)(2x^2 - 7) + (9x - 21). \end{aligned}$$ Đa thức dư trong phép chia là $R = 9x - 21$ (có bậc 1 < 2). Khi đó hiệu $A - R = (3x - 2) \cdot B$ luôn chia hết cho $B$. Vậy đa thức cần tìm là $R = 9x - 21$.

b) Đa thức $V(x) = 6x^2 + 11x + 6$ có:

• Bậc: 2;
• Hệ số cao nhất: 6;
• Hệ số tự do: 6.

c) Khi $x = 7\text{ dm}$, lượng nước còn lại trong bể là: $$V(7) = 6 \cdot 7^2 + 11 \cdot 7 + 6 = 6 \cdot 49 + 77 + 6 = 294 + 77 + 6 = 377\text{ dm}^3.$$

b) Xét $\Delta AEN$ và $\Delta CEB$:

• $EA = EC$ (vì $E$ là trung điểm của $AC$);
• $\widehat{AEN} = \widehat{CEB}$ (hai góc đối đỉnh);
• $EN = EB$ (theo giả thiết).

Do đó $\Delta AEN = \Delta CEB$ (c.g.c).
Suy ra $AN = BC$ và $\widehat{NAE} = \widehat{BCE}$ (ở vị trí so le trong) $\implies AN \parallel BC$.

c) Theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song: Qua điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $BC$, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $BC$.
Vì $AM \parallel BC$ và $AN \parallel BC$ nên hai đường thẳng $AM$ và $AN$ phải trùng nhau, tức là ba điểm $M, A, N$ thẳng hàng.
Mặt khác, $AM = BC$ và $AN = BC \implies AM = AN$. Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ đồng thời cách đều $M$ và $N$ nên $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

b) Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
Ta có $\widehat{ABM} = 180^\circ - \widehat{ABC}$ và $\widehat{ACN} = 180^\circ - \widehat{ACB}$, suy ra $\widehat{ABM} = \widehat{ACN}$.
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$:

• $AB = AC$ (giả thiết);
• $\widehat{ABM} = \widehat{ACN}$ (chứng minh trên);
• $BM = CN$ (giả thiết).

Do đó $\Delta ABM = \Delta ACN$ (c.g.c), suy ra $AM = AN$ và $\widehat{M} = \widehat{N}$.

c) Xét hai tam giác vuông $\Delta BIM$ (vuông tại $I$) và $\Delta CKN$ (vuông tại $K$):

• Cạnh huyền $BM = CN$;
• Góc nhọn $\widehat{M} = \widehat{N}$ (từ câu b).

Do đó $\Delta BIM = \Delta CKN$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\implies IM = KN$.
Mặt khác, $AM = AN$ nên: $$AM - IM = AN - KN \implies AI = AK.$$ Do đó $\Delta AIK$ cân tại đỉnh $A$.
Vì $\Delta AIK$ cân tại $A$ nên $\widehat{AIK} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.
Vì $\Delta AMN$ cân tại $A$ nên $\widehat{AMN} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.
Suy ra $\widehat{AIK} = \widehat{AMN}$. Hai góc này ở vị trí đồng vị nên $IK \parallel MN$.

b) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta DBE$:

• $BA = BD$ (giả thiết);
• $\widehat{ABE} = \widehat{DBE}$ (do $BE$ là phân giác);
• $BE$ là cạnh chung.

Do đó $\Delta ABE = \Delta DBE$ (c.g.c).
Suy ra $EA = ED$ và $\widehat{BDE} = \widehat{BAE} = 90^\circ \implies ED \perp BC$.
Vì $EA = ED$ nên tam giác $AED$ cân tại $E$.

c) Xét hai tam giác vuông $\Delta EAM$ (vuông tại $A$) và $\Delta EDC$ (vuông tại $D$):

• $EA = ED$ (chứng minh ở câu b);
• $\widehat{AEM} = \widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó $\Delta EAM = \Delta EDC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề) $\implies EM = EC$.
Trong tam giác vuông $EDC$ vuông tại $D$, cạnh huyền $EC$ luôn lớn hơn cạnh góc vuông $ED$: $EC > ED$.
Mà $EM = EC$, suy ra $EM > ED$.

d) Khi $\widehat{ABC} = 60^\circ$:

• Trong tam giác $BCM$, ta có $CA \perp BM$ (tại $A$) nên $CA$ là đường cao kẻ từ đỉnh $C$; $MD \perp BC$ (tại $D$) nên $MD$ là đường cao kẻ từ đỉnh $M$.
• Hai đường cao $CA$ và $MD$ cắt nhau tại $E$, suy ra $E$ là trực tâm của tam giác $BCM$. Do đó $BE \perp CM$.
• Mặt khác $BE$ là đường phân giác của góc $\widehat{B} = 60^\circ$. Trong tam giác $BCM$, đường cao $BE$ đồng thời là đường phân giác nên $\Delta BCM$ cân tại $B$.
• Tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$ nên $\Delta BCM$ là tam giác đều.
• Trong tam giác đều $BCM$, trực tâm $E$ đồng thời là trọng tâm của tam giác. Đường cao $CA$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đều $BCM$, do đó trọng tâm $E$ chia đoạn $CA$ theo tỉ số: $\frac{CE}{CA} = \frac{2}{3} \implies CE = 2EA$.

b) Bảng thống kê số lượng học sinh phổ thông Việt Nam giai đoạn 2015 – 2020:

c) Vì số liệu về học sinh phổ thông trên cả nước là dữ liệu quy mô toàn quốc, Bình không thể phỏng vấn hay điều tra trực tiếp từng người được. Bình đã dùng phương pháp thu thập dữ liệu gián tiếp (tra cứu từ nguồn tài liệu có sẵn đáng tin cậy như Niên giám thống kê của Tổng cục Thống kê hoặc Cổng thông tin của Bộ Giáo dục và Đào tạo).

b) Nhìn vào biểu đồ hoặc bảng thống kê, số huy chương ít nhất là 116 vào năm 2018.

c) Tổng số huy chương thế giới năm 2019 là 238 huy chương:

• Số huy chương vàng: $238 \cdot 47{,}48\% = 238 \cdot 0{,}4748 \approx 113$ (huy chương).
• Số huy chương bạc: $238 \cdot 27{,}31\% = 238 \cdot 0{,}2731 \approx 65$ (huy chương).
• Số huy chương đồng: $238 \cdot 25{,}21\% = 238 \cdot 0{,}2521 \approx 60$ (huy chương).

(Kiểm tra lại: $113 + 65 + 60 = 238$ huy chương).

b) Số điểm nhỏ nhất ghi trên bánh xe là 100, do đó không có hình quạt nào có số điểm nhỏ hơn 100. Đây là biến cố không thể, do đó xác suất là: $$P_b = \frac{0}{12} = 0.$$

c) Các hình quạt có số điểm lớn hơn 300 gồm:

• 2 hình quạt ghi 400 điểm;
• 1 hình quạt ghi 500 điểm;
• 2 hình quạt ghi 1 000 điểm;
• 1 hình quạt ghi 2 000 điểm.

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố là: $2 + 1 + 2 + 1 = 6$ kết quả.
Xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt có số điểm lớn hơn 300 là: $$P_c = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$$

d) Có duy nhất 1 hình quạt ghi 2 000 điểm nên số kết quả thuận lợi là 1.
Xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt có số điểm 2 000 là: $$P_d = \frac{1}{12}.$$