Lý thuyết Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất
Nắm vững định nghĩa phép chia hết, khái niệm ước và bội; kí hiệu chia hết và không chia hết; tập hợp ước U(a) và bội B(b); cách tìm ước và bội; hai tính chất chia hết trọng tâm của một tổng, hiệu; trọn vẹn Hoạt động, Luyện tập, Vận dụng và Bài tập SGK 2.1 - 2.9 trang 29 - 33.
Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất
Khám phá quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên, làm quen với khái niệm ước và bội; nắm vững phương pháp tìm tập các ước và tập các bội; vận dụng thành thạo hai tính chất chia hết của một tổng, hiệu để xét tính chia hết nhanh gọn mà không cần tính giá trị biểu thức.
- Chia hết.
- Ước.
- Bội.
- Nhận biết quan hệ chia hết, khái niệm ước và bội.
- Tìm các ước và bội của một số tự nhiên.
- Nhận biết tính chất chia hết của một tổng cho một số.
Bài toán mở đầu: Chia phần thưởng bút cho 4 tổ (SGK trang 29)
Tình huống thực tế"Trong đợt tổng kết học kì I, lớp 6A được Hội cha mẹ học sinh thưởng $50$ cái bút. Nhà trường lại thưởng thêm cho lớp $4$ hộp bút nữa (số bút trong mỗi hộp là như nhau). Các bạn đề nghị chia đều toàn bộ số phần thưởng cho $4$ tổ. Nếu không biết số bút trong mỗi hộp, ta có thể chia đều số bút đó cho $4$ tổ được không?"
Quan hệ chia hết
a) Khi nào thì số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ ($b \ne 0$)?
Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ ($b \ne 0$). Nếu có số tự nhiên $k$ sao cho $a = k \cdot b$ thì ta nói rằng $a$ chia hết cho $b$ và kí hiệu là $a \ \vdots \ b$.
Nếu $a$ không chia hết cho $b$, ta kí hiệu là $a \ \not\vdots \ b$.
Nhân dịp sinh nhật, mẹ cho Việt $12$ gói kẹo để liên hoan với các bạn, mỗi gói có $35$ chiếc. Biết lớp Việt có $5$ tổ, hỏi Việt có thể chia đều số kẹo cho các tổ không?
Tổng số kẹo của Việt là: $12 \cdot 35$ (chiếc).
Vì $35 \ \vdots \ 5$ nên tích $(12 \cdot 35) \ \vdots \ 5$.
Do đó, Việt hoàn toàn có thể chia đều số kẹo cho mỗi tổ.
Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chia hết cho một số thì cả tích đó chia hết cho số đó.
b) Khái niệm Ước và Bội
Nếu $a$ chia hết cho $b$ ($a \ \vdots \ b$), ta nói $b$ là ước của $a$ và $a$ là bội của $b$.
c) Cách tìm ước và bội của một số tự nhiên (SGK trang 31)
Lần lượt chia $12$ cho các số từ $1$ đến $12$. Các số mà $12$ chia hết là: $1; 2; 3; 4; 6; 12$.
Nhân $8$ lần lượt với $0; 1; 2; 3; ...$ ta được: $0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72$.
Ta lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $a$ để xem $a$ chia hết cho những số nào thì các số đó chính là ước của $a$.
Ta có thể tìm các bội của một số khác $0$ bằng cách nhân số đó lần lượt với $0; 1; 2; 3; 4; ...$
Tìm ba ước khác nhau của $12$ có tổng bằng $12$:
Tính chất chia hết của một tổng
a) Tính chất 1: Trường hợp tất cả số hạng đều chia hết
Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
$(a + b) \ \vdots \ m$
$(a + b + c) \ \vdots \ m$
Xét tổng $6 + 15 + 30$:
nên $(6 + 15 + 30) \ \vdots \ 3$.
Tìm $x \in \{1; 14; 16; 22; 28\}$ để $21 + x \ \vdots \ 7$:
Trong tập hợp có $14 \ \vdots \ 7$ và $28 \ \vdots \ 7$.
Vậy $x \in \{14; 28\}$.
b) Tính chất 2: Trường hợp có đúng một số hạng không chia hết
Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, còn các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.
$(a + b) \ \not\vdots \ m$
$(a + b + c) \ \not\vdots \ m$
Không thực hiện phép tính, hãy cho biết $5 + 45 + 2019$ có chia hết cho $5$ không? Vì sao?
Trở lại tình huống mở đầu: Vì số bút trong các hộp bút bằng nhau nên tổng số bút trong $4$ hộp là một số chia hết cho $4$.
Vì $50$ không chia hết cho $4$ ($50 \ \not\vdots \ 4$) nên tổng số bút được thưởng không thể chia đều cho 4 tổ.
Tìm $x \in \{5; 25; 39; 54\}$ sao cho tổng $20 + 45 + x$ không chia hết cho $5$.
Phản ví dụ: Xét số $2$ và $6$. Cả hai số này đều không chia hết cho $4$ ($2 \ \not\vdots \ 4$ và $6 \ \not\vdots \ 4$), nhưng tổng của chúng là $2 + 6 = 8$ lại chia hết cho $4$ ($8 \ \vdots \ 4$). Tương tự, $1 + 3 = 4 \ \vdots \ 4$.
Lưu ý vàng: Tính chất 2 chỉ đúng khi có ĐÚNG MỘT số hạng không chia hết cho $m$. Nếu có từ hai số hạng trở lên không chia hết thì tổng vẫn có thể chia hết!
Bảng tổng kết kiến thức cốt lõi Bài 8
- $a = k \cdot b \implies a \ \vdots \ b$.
- $b$ là ước của $a$.
- $a$ là bội của $b$.
- Tập ước: $\mathcal{U}(a)$; Tập bội: $\mathcal{B}(b)$.
- $a \ \vdots \ m$ và $b \ \vdots \ m \implies (a + b) \ \vdots \ m$.
- Đúng với tổng nhiều số hạng.
- Đúng với phép trừ: $(a - b) \ \vdots \ m$.
- Mọi số hạng đều chia hết.
- $a \ \vdots \ m$ và $b \ \not\vdots \ m \implies (a + b) \ \not\vdots \ m$.
- Đúng với hiệu: $(a - b) \ \not\vdots \ m$.
- Điều kiện: Có duy nhất 1 số hạng không chia hết.
- Nhiều số không chia hết thì tổng vẫn có thể chia hết.