Lý thuyết Bài 9: Dấu hiệu chia hết
Nắm vững dấu hiệu chia hết cho 2, 5 (xét chữ số tận cùng) và dấu hiệu chia hết cho 9, 3 (xét tổng các chữ số); phương pháp tìm chữ số thỏa mãn điều kiện chia hết; giải thích bản chất bằng cấu tạo số thập phân; giải trọn vẹn Hoạt động, Luyện tập, Vận dụng và Bài tập SGK 2.10 - 2.16 trang 34 - 37.
Bài 9: Dấu hiệu chia hết
Khám phá quy tắc nhận biết nhanh một số tự nhiên có chia hết cho $2, 5$ (thông qua chữ số tận cùng) và chia hết cho $9, 3$ (thông qua tổng các chữ số); vận dụng linh hoạt để giải các bài toán thực tiễn và tìm chữ số ẩn mà không cần thực hiện phép tính chia.
- Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5.
- Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3.
- Chữ số tận cùng, tổng các chữ số.
- Vận dụng được dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 9; 3 để xác định một số đã cho có chia hết cho 2; 5; 9; 3 hay không.
- Tìm chữ số thích hợp để tạo thành số chia hết cho 2; 5; 9; 3.
Tình huống mở đầu: Bí quyết tính nhẩm của Bạn Tròn
SGK Toán 6 - Trang 34
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
a) Nhận xét và Khám phá (SGK trang 34)
Ta nhận thấy các số có chữ số tận cùng là $0$ luôn chia hết cho cả $2$ và $5$ vì chúng là bội của $10$:
Xét số $n = \overline{23*}$ (* là chữ số tận cùng của $n$). Ta phân tích theo cấu tạo số: $n = 230 + *$.
- Để $n \ \vdots \ 2$ thì cần $* \ \vdots \ 2 \implies * \in \{0; 2; 4; 6; 8\}$.
- Để $n \ \vdots \ 5$ thì cần $* \ \vdots \ 5 \implies * \in \{0; 5\}$.
Các số có chữ số tận cùng là $0, 2, 4, 6, 8$ (các chữ số chẵn) thì chia hết cho $2$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $2$.
Các số có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ thì chia hết cho $5$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $5$.
(vì $1985 \ \not\vdots \ 2$ còn $2020 \ \vdots \ 2$)
(vì $1968 \ \vdots \ 2$ và $1930 \ \vdots \ 2$)
Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3
a) Dấu hiệu chia hết cho 9 (SGK trang 35)
Cho các số: $27; 82; 195; 234$.
$27$ (tổng chữ số $2 + 7 = 9 \ \vdots \ 9$)
$234$ (tổng chữ số $2 + 3 + 4 = 9 \ \vdots \ 9$)
$82$ (tổng chữ số $8 + 2 = 10 \ \not\vdots \ 9$)
$195$ (tổng chữ số $1 + 9 + 5 = 15 \ \not\vdots \ 9$)
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho $9$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $9$.
Thay dấu * bởi một chữ số để số $\overline{12*}$ chia hết cho $9$:
Để $(3 + *) \ \vdots \ 9$ thì $* = 6$.
Số tìm được là: $126$.
Bờ đất dài $108$ m, khoảng cách giữa 2 cây là $9$ m:
Số khoảng cách: $108 : 9 = 12$ (khoảng cách).
Số cây dừa cần trồng: $12 + 1 = 13$ (cây).
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (SGK trang 36)
Cho các số: $42; 80; 191; 234$.
$42$ (tổng chữ số $4 + 2 = 6 \ \vdots \ 3$)
$234$ (tổng chữ số $2 + 3 + 4 = 9 \ \vdots \ 3$)
$80$ (tổng chữ số $8 + 0 = 8 \ \not\vdots \ 3$)
$191$ (tổng chữ số $1 + 9 + 1 = 11 \ \not\vdots \ 3$)
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho $3$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3$.
Thay dấu * bởi một chữ số để số $\overline{12*5}$ chia hết cho $3$:
Để $(8 + *) \ \vdots \ 3$ thì $* \in \{1; 4; 7\}$.
Các số tìm được là: $1215; 1245; 1275$.
Hà chỉ có thể đi qua các ô chứa số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 và mỗi ô chỉ đi qua một lần.
Xét số tự nhiên có ba chữ số $234$, ta biểu diễn theo cấu tạo số thập phân:
Vì biểu thức $(2 \cdot 99 + 3 \cdot 9)$ luôn chia hết cho cả $9$ và $3$, nên số $234$ chia hết cho $9$ (hoặc cho $3$) khi và chỉ khi tổng các chữ số $(2 + 3 + 4)$ chia hết cho $9$ (hoặc cho $3$).
Điều này đúng cho mọi số tự nhiên có số chữ số bất kì!
Bảng tổng kết 4 Dấu hiệu chia hết cơ bản
- Chia hết cho 2: Tận cùng là $0, 2, 4, 6, 8$.
- Chia hết cho 5: Tận cùng là $0$ hoặc $5$.
- Chia hết cho cả 2 và 5: Tận cùng là $0$.
- Chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho $9$.
- Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho $3$.
- Mối quan hệ: Chia hết cho $9$ thì chắc chắn chia hết cho $3$.