Toán Lớp 6 Chương III: Ước chung, Bội chung và Số nguyên 4 lượt xem

Lý thuyết Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất

Nắm vững khái niệm ước chung và ước chung lớn nhất; thành thạo quy tắc 3 bước tìm ƯCLN bằng phân tích thừa số nguyên tố và cách tìm ƯC từ ƯCLN; nhận biết hai số nguyên tố cùng nhau và rút gọn phân số tối giản; tìm hiểu thuật toán Euclid và giải trọn bộ bài tập SGK 2.30 - 2.35 trang 44 - 48.

SGK Toán 6 Tập 1 - Kết nối tri thức Chương III: Ước chung, Bội chung và Số nguyên Trang 44 – 48

Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất

Khám phá khái niệm ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số tự nhiên; làm chủ quy tắc 3 bước tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố, cách tìm tập hợp ước chung từ ƯCLN và ứng dụng rút gọn về phân số tối giản.

Khái niệm, thuật ngữ

Ước chung; Ước chung lớn nhất.
Hai số nguyên tố cùng nhau.
Phân số tối giản.

Kiến thức, kĩ năng

Xác định ước chung, ước chung lớn nhất của hai hoặc ba số tự nhiên đã cho.
Nhận biết phân số tối giản và rút gọn phân số về phân số tối giản.

Bài toán mở đầu: Bác thợ mộc cắt gỗ làm kệ để đồ

SGK Toán 6 - Trang 44

"Một bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ hai tấm gỗ dài $18\text{ dm}$ và $30\text{ dm}$. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này thành các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào.
Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của mỗi thanh gỗ được cắt."

Phân tích bài toán: Vì hai tấm gỗ dài $18\text{ dm}$ và $30\text{ dm}$ được cắt thành các thanh gỗ có cùng độ dài $x\text{ (dm)}$ và không thừa mẩu nào nên $18 \ \vdots \ x$ và $30 \ \vdots \ x$. Để $x$ lớn nhất thì $x$ chính là Ước chung lớn nhất của $18$ và $30$: $x = \text{ƯCLN}(18, 30) = 6\text{ (dm)}$!

Minh hoạ cách cắt hai tấm gỗ thành các đoạn $6\text{ dm}$

Ước chung và ước chung lớn nhất

a) Khám phá Hoạt động 1, 2, 3 (SGK trang 44)

HĐ1 Tìm các tập hợp $\text{Ư}(24)$ và $\text{Ư}(28)$:

$\text{Ư}(24) = \{\mathbf{1}; \ \mathbf{2}; \ 3; \ \mathbf{4}; \ 6; \ 8; \ 12; \ 24\}$

$\text{Ư}(28) = \{\mathbf{1}; \ \mathbf{2}; \ \mathbf{4}; \ 7; \ 14; \ 28\}$

HĐ2 Tập hợp $\text{ƯC}(24, 28)$ gồm các số vừa là ước của $24$, vừa là ước của $28$:

$\text{ƯC}(24, 28) = \{1; \ 2; \ 4\}$

HĐ3 Số lớn nhất trong tập hợp $\text{ƯC}(24, 28)$: Số $4$ (ta gọi $4$ là ước chung lớn nhất của $24$ và $28$, kí hiệu $\text{ƯCLN}(24, 28) = 4$).

Biểu đồ Venn tập hợp ƯC(24, 28)

Định nghĩa & Kí hiệu (SGK trang 44):

ƯỚC CHUNG — Kí hiệu: $\text{ƯC}(a, b)$

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

• $x \in \text{ƯC}(a, b) \iff a \ \vdots \ x$ và $b \ \vdots \ x$.
• $x \in \text{ƯC}(a, b, c) \iff a \ \vdots \ x, \ b \ \vdots \ x$ và $c \ \vdots \ x$.

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT — Kí hiệu: $\text{ƯCLN}(a, b)$

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

• Phân biệt: $\text{ƯC}(a, b)$ là một tập hợp; còn $\text{ƯCLN}(a, b)$ là một số!
• Chú ý: Ta chỉ xét ước chung của các số khác $0$.

Ví dụ 1 Tìm $\text{ƯC}(18, 30)$ và $\text{ƯCLN}(18, 30)$ (SGK trang 45)

• $\text{Ư}(18) = \{1; \ 2; \ 3; \ 6; \ 9; \ 18\}$

• $\text{Ư}(30) = \{1; \ 2; \ 3; \ 5; \ 6; \ 10; \ 15; \ 30\}$

⇒ $\text{ƯC}(18, 30) = \{1; \ 2; \ 3; \ 6\}$ và $\text{ƯCLN}(18, 30) = 6$.

Ví dụ 2 Lời giải Bài toán mở đầu (SGK trang 45)

Độ dài lớn nhất (đơn vị $\text{dm}$) của mỗi thanh gỗ được cắt chính là ước chung lớn nhất của $18$ và $30$.
Vậy bác thợ mộc nên cắt các tấm gỗ thành các thanh gỗ dài $\text{ƯCLN}(18, 30) = 6\text{ dm}$.

Tìm ƯCLN trong trường hợp đặc biệt: $\text{ƯCLN}(6, 18)$ bằng bao nhiêu? (SGK trang 45)

Bạn Tròn liệt kê ước:

"$\text{Ư}(6) = \{1; 2; 3; 6\}$;
$\text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$.
Vậy $\text{ƯCLN}(6, 18) = 6$."

Bạn Vuông nhận xét nhanh:

"Tìm thế mất thời gian quá! Vì $18$ chia hết cho $6$ nên $\text{ƯCLN}(6, 18) = 6$ ngay!"

✓ Mẹo tính nhẩm cực nhanh!

Nhận xét quan trọng (SGK trang 45):

• Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì $\text{ƯCLN}$ của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy: Nếu $a \ \vdots \ b$ thì $\text{ƯCLN}(a, b) = b$. (Câu hỏi ?: Vì $90 \ \vdots \ 10$ nên $\text{ƯCLN}(90, 10) = 10$).

• Số $1$ chỉ có một ước là $1$. Do đó với mọi số tự nhiên $a, b$: $\text{ƯCLN}(a, 1) = 1$ và $\text{ƯCLN}(a, b, 1) = 1$.

Luyện tập 1 Chia bóng cho 3 anh em (SGK trang 45)

Bố có $12$ quả bóng màu xanh và $15$ quả bóng màu đỏ. Bố muốn chia số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng xanh và bóng đỏ. Hỏi bố có thực hiện được điều đó hay không?

Lời giải: Ta có $12 \ \vdots \ 3$ và $15 \ \vdots \ 3$, tức là $3 \in \text{ƯC}(12, 15)$.

⇒ Vậy bố thực hiện được điều đó (mỗi anh em nhận được $12 : 3 = 4$ quả bóng xanh và $15 : 3 = 5$ quả bóng đỏ).

Vận dụng 1 Chia nhóm thu gom rác làm sạch bờ biển (SGK trang 45)

Lớp 6A và 6B gồm $40$ học sinh nữ và $36$ học sinh nam đi thu gom rác làm sạch bờ biển. Chia nhóm sao cho số nam và nữ trong các nhóm bằng nhau:

a) Số nhóm có thể chia: Số nhóm phải thuộc $\text{ƯC}(40, 36) = \{1; \ 2; \ 4\}$. Vậy có thể chia thành $1; 2$ hoặc $4$ nhóm.

b) Số nhóm nhiều nhất: Chính là $\text{ƯCLN}(40, 36) = \mathbf{4}$ nhóm (mỗi nhóm có $10$ nữ và $9$ nam).

Cách tìm ước chung lớn nhất và tìm ước chung từ ƯCLN

a) Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố (SGK trang 45 – 46)

Quy tắc 3 bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1: Phân tích

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn thừa số chung

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung (có mặt ở tất cả các số).

Bước 3: Lập tích mũ nhỏ nhất

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Minh hoạ: Tìm $\text{ƯCLN}(24, 60)$

$24 = 2^3 \cdot 3$

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

TSNT chung: $2$ và $3$

$\text{ƯCLN}(24, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12$

Câu hỏi (?): Tìm $\text{ƯCLN}(45, 150)$

$45 = 3^2 \cdot 5$

$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

TSNT chung: $3$ và $5$

$\text{ƯCLN}(45, 150) = 3^1 \cdot 5^1 = 15$

Ví dụ 3: Tìm $\text{ƯCLN}(56, 140, 168)$

$56 = 2^3 \cdot 7; \ 140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$

$168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

TSNT chung: $2$ và $7$

$\text{ƯCLN}(56, 140, 168) = 2^2 \cdot 7 = 28$

Luyện tập 2 Tìm $\text{ƯCLN}(36, 84)$ (SGK trang 46)

• Phân tích ra thừa số nguyên tố: $36 = 2^2 \cdot 3^2$ và $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.

• Thừa số nguyên tố chung là $2$ (số mũ nhỏ nhất là $2$) và $3$ (số mũ nhỏ nhất là $1$).

⇒ $\text{ƯCLN}(36, 84) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Vận dụng 2 Xếp hàng dọc diễu binh đại đội bộ binh (SGK trang 46)

Ba trung đội có $24$, $28$ và $36$ chiến sĩ xếp thành các hàng dọc đều nhau không lẻ hàng. Hỏi xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?

• Số hàng dọc nhiều nhất là $\text{ƯCLN}(24, 28, 36)$.

• Ta có: $24 = 2^3 \cdot 3; \ 28 = 2^2 \cdot 7; \ 36 = 2^2 \cdot 3^2$.

⇒ $\text{ƯCLN}(24, 28, 36) = 2^2 = 4$. Vậy xếp được nhiều nhất $4$ hàng dọc!

b) Tìm ước chung từ ước chung lớn nhất (SGK trang 46 – 47)

Quy tắc tìm ƯC thông qua ƯCLN:

Vì mọi ước chung của các số đã cho đều là ước của $\text{ƯCLN}$ của các số đó, nên để tìm ước chung của các số, ta thực hiện:

Bước 1: Tìm $\text{ƯCLN}$ của các số đó Bước 2: Tìm các ước của $\text{ƯCLN}$ đó: $\text{ƯC}(a, b) = \text{Ư}(\text{ƯCLN}(a, b))$

Câu hỏi (?) & Ví dụ 4 (SGK trang 46 – 47)

• Câu hỏi (?): Biết $\text{ƯCLN}(75, 105) = 15$, suy ra:
$\text{ƯC}(75, 105) = \text{Ư}(15) = \{1; \ 3; \ 5; \ 15\}$.

• Ví dụ 4: Tìm $\text{ƯC}(75, 105, 120)$. Ta có:
$75 = 3 \cdot 5^2; \ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7; \ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
$\implies \text{ƯCLN}(75, 105, 120) = 3 \cdot 5 = 15$
$\implies \text{ƯC}(75, 105, 120) = \text{Ư}(15) = \{1; \ 3; \ 5; \ 15\}$.

Thử thách nhỏ: Vé tham quan Bảo tàng Dân tộc học (SGK trang 47)

Số tiền mua vé cô Lan thu được từng ngày: Thứ Hai $56$, Thứ Ba $28$, Thứ Tư $42$, Thứ Năm $98$ (nghìn đồng).

a) Tìm giá vé (biết giá vé $> 2$ nghìn đồng): Giá một vé là ước chung của $56, 28, 42, 98$. Vì $\text{ƯCLN}(56, 28, 42, 98) = 14$ nên $\text{ƯC} = \text{Ư}(14) = \{1; 2; 7; 14\}$. Do giá vé $> 2$ nghìn đồng nên giá vé có thể là $7$ nghìn đồng hoặc $14$ nghìn đồng.

b) Số học sinh tham gia (từ $20$ đến $40$ người): Tổng tiền thu là $56 + 28 + 42 + 98 = 224$ (nghìn đồng).
• Nếu vé $7$ nghìn: $224 : 7 = \mathbf{32}$ học sinh (thoả mãn $20 < 32 < 40$).
• Nếu vé $14$ nghìn: $224 : 14 = 16$ học sinh (loại vì $< 20$).

Rút gọn về phân số tối giản & Hai số nguyên tố cùng nhau

1. Phân số tối giản & Cách rút gọn

• Phân số $\dfrac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu $a$ và $b$ không có ước chung nào khác $1$, nghĩa là $\text{ƯCLN}(a, b) = 1$.
• Để đưa một phân số chưa tối giản $\dfrac{a}{b}$ về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho $\text{ƯCLN}(a, b)$:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : \text{ƯCLN}(a, b)}{b : \text{ƯCLN}(a, b)}$$

2. Hai số nguyên tố cùng nhau

• Nếu $\text{ƯCLN}(a, b) = 1$ thì hai số $a$ và $b$ được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.
• Phân số $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản khi và chỉ khi tử $a$ và mẫu $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lưu ý: Hai hợp số vẫn có thể nguyên tố cùng nhau! Ví dụ: $8$ và $9$ đều là hợp số nhưng $\text{ƯCLN}(8, 9) = 1$ nên $8$ và $9$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 5 Nhận biết và rút gọn phân số (SGK trang 47 – 48)

• Câu hỏi (?): Phân số $\dfrac{16}{10}$ chưa tối giản vì $\text{ƯCLN}(16, 10) = 2 \ne 1$. Rút gọn: $\dfrac{16}{10} = \dfrac{16 : 2}{10 : 2} = \dfrac{8}{5}$.

• Ví dụ 5a: Phân số $\dfrac{8}{5}$ là phân số tối giản vì $\text{ƯCLN}(8, 5) = 1$.

• Ví dụ 5b: Có $\text{ƯCLN}(36, 54) = 18 \ne 1$ nên $\dfrac{36}{54}$ chưa tối giản. Rút gọn: $\dfrac{36}{54} = \dfrac{36 : 18}{54 : 18} = \dfrac{2}{3}$.

Luyện tập 3 Rút gọn về phân số tối giản (SGK trang 48)

a) Phân số $\dfrac{90}{27}$:
$\text{ƯCLN}(90, 27) = 9$.
$$\dfrac{90}{27} = \dfrac{90 : 9}{27 : 9} = \dfrac{10}{3}$$

b) Phân số $\dfrac{50}{125}$:
$\text{ƯCLN}(50, 125) = 25$.
$$\dfrac{50}{125} = \dfrac{50 : 25}{125 : 25} = \dfrac{2}{5}$$

Em có biết? Thuật toán Euclid (Ơ-clít) tìm ƯCLN không cần phân tích thừa số nguyên tố (SGK trang 48)

Nhà toán học vĩ đại thời cổ đại Euclid (Ơ-clít) — tác giả bộ sách Cơ sở — đã đưa ra thuật toán tìm $\text{ƯCLN}(a, b)$ cực kì hiệu quả dựa trên phép chia có dư: Nếu $a = bq + r$ thì $\text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(b, r)$.

Các bước thực hiện:

Chia số lớn cho số nhỏ được số dư đầu tiên $r_1$.
Nếu $r_1 = 0$ thì số nhỏ chính là $\text{ƯCLN}$.
Nếu $r_1 \ne 0$, lấy số chia trước chia cho số dư $r_1$, lặp lại cho đến khi số dư bằng $0$.
Số dư cuối cùng khác $0$ chính là $\text{ƯCLN}$ cần tìm!

Ví dụ SGK: Tìm $\text{ƯCLN}(4\,836, 234)$

• $4\,836 : 234 = 20$ (dư $156$)

• $234 : 156 = 1$ (dư $\mathbf{78}$)

• $156 : 78 = 2$ (dư $0$)

Số dư cuối cùng khác $0$ là $78 \implies \text{ƯCLN}(4\,836, 234) = 78$.

Làm bài tập củng cố của bài này →