Toán Lớp 6 Chương VI: Phân số 104 lượt xem

Lý thuyết Bài 25: Phép cộng và phép trừ phân số

Quy tắc cộng và trừ hai phân số cùng mẫu và khác mẫu; Định nghĩa số đối; Tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng phân số; Bài tập SGK 6.21 - 6.26 trang 15 - 18.

SGK Toán 6 Tập 2 (Trang 15 - 18)

BÀI 25: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN SỐ

Khái niệm, thuật ngữ

Phép cộng
Phép trừ
Số đối
Tính chất giao hoán
Tính chất kết hợp

Kiến thức, kĩ năng

Thực hiện phép cộng, trừ phân số.
Vận dụng các tính chất của phép cộng, quy tắc dấu ngoặc trong tính toán.
Nhận biết số đối của một phân số.
Giải các bài toán thực tiễn có liên quan.

TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (SGK TRANG 15)

Tuấn ước tính cần $3$ giờ ngày Chủ nhật để hoàn thành một bức tranh tặng mẹ nhân ngày Quốc tế Phụ nữ 8-3.

• Buổi sáng bạn dành ra $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$ giờ để vẽ.
• Buổi chiều bạn tiếp tục dành $\mathbf{\dfrac{5}{3}}$ giờ để vẽ.

Hỏi buổi tối Tuấn cần vẽ khoảng bao nhiêu giờ nữa để hoàn thành bức tranh?

Tranh tặng mẹ nhân ngày 8-3

PHÉP CỘNG HAI PHÂN SỐ

Cộng hai phân số cùng mẫu

HĐ1 Nhắc lại quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu (có tử và mẫu dương) rồi tính các tổng:

$$\dfrac{8}{11} + \dfrac{3}{11} = \dfrac{8 + 3}{11} = \mathbf{\dfrac{11}{11} = 1}$$

$$\dfrac{9}{12} + \dfrac{11}{12} = \dfrac{9 + 11}{12} = \mathbf{\dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}}$$

Quy tắc trên vẫn đúng với các phân số có tử và mẫu là các số nguyên.

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:

$$\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a + b}{m}$$

Ví dụ 1 Minh họa cộng hai phân số cùng mẫu (SGK Trang 15):

$$\dfrac{-4}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{(-4) + 3}{7} = \mathbf{\dfrac{-1}{7}}$$

$$\dfrac{-6}{13} + \dfrac{-8}{13} = \dfrac{(-6) + (-8)}{13} = \mathbf{\dfrac{-14}{13}}$$

Luyện tập 1 Tính (SGK Trang 16):

$$\dfrac{-7}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{(-7) + 5}{12}$$

$$= \dfrac{-2}{12} = \mathbf{\dfrac{-1}{6}}$$

$$\dfrac{-8}{11} + \dfrac{-19}{11} = \dfrac{(-8) + (-19)}{11}$$

$$= \mathbf{\dfrac{-27}{11}}$$

Cộng hai phân số không cùng mẫu

Để thực hiện phép cộng $\mathbf{\dfrac{5}{7} + \dfrac{-3}{4}}$, em hãy làm theo các bước sau:

• Quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{5}{7}$ và $\dfrac{-3}{4}$:
Mẫu chung $\text{BCNN}(7, 4) = 28$. Ta có:

$$\dfrac{5}{7} = \dfrac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \mathbf{\dfrac{20}{28}}$$

và

$$\dfrac{-3}{4} = \dfrac{(-3) \cdot 7}{4 \cdot 7} = \mathbf{\dfrac{-21}{28}}$$

• Sử dụng quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu để tính tổng:

$$\dfrac{5}{7} + \dfrac{-3}{4} = \dfrac{20}{28} + \dfrac{-21}{28}$$

$$= \dfrac{20 + (-21)}{28} = \mathbf{\dfrac{-1}{28}}$$

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ 2 Tính $\mathbf{\dfrac{-5}{6} + \dfrac{7}{9}}$ (SGK Trang 16):

$$\dfrac{-5}{6} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{(-5) \cdot 3}{6 \cdot 3} + \dfrac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2}$$

(Quy đồng mẫu số chung là 18)

$$= \dfrac{-15}{18} + \dfrac{14}{18} = \dfrac{(-15) + 14}{18} = \mathbf{\dfrac{-1}{18}}$$

(Cộng hai phân số cùng mẫu)

Luyện tập 2 Tính: $\mathbf{\dfrac{-5}{8} + \dfrac{-7}{20}}$ (SGK Trang 16)

$$\dfrac{-5}{8} + \dfrac{-7}{20} = \dfrac{(-5) \cdot 5}{40} + \dfrac{(-7) \cdot 2}{40}$$

$$= \dfrac{-25}{40} + \dfrac{-14}{40} = \dfrac{(-25) + (-14)}{40} = \mathbf{\dfrac{-39}{40}}$$

Số đối

HĐ3 Tính các tổng và nêu nhận xét:

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{-1}{2} = \dfrac{1 + (-1)}{2} = \mathbf{\dfrac{0}{2} = 0}$$

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{-1}{2} = \mathbf{0}$$

$\implies$ Nhận xét: Cả hai tổng đều bằng $0$.

Hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0$. Kí hiệu số đối của phân số $\dfrac{a}{b}$ là $-\dfrac{a}{b}$:

$$\dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{a}{b}\right) = 0$$

Chẳng hạn, $\dfrac{-1}{2}$ và $\dfrac{1}{-2}$ đều là số đối của $\dfrac{1}{2}$. Do đó: $\mathbf{-\dfrac{1}{2} = \dfrac{-1}{2} = \dfrac{1}{-2}}$.

Bạn Pi nhắc:

$-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}$

Bạn Vuông hỏi: "Số đối của số $0$ là số nào nhỉ?"
$\implies$ Số đối của số $0$ chính là $0$.

Luyện tập 3 Tìm số đối của các phân số sau: $\mathbf{\dfrac{1}{3}};\; \mathbf{\dfrac{-1}{3}}$ và $\mathbf{\dfrac{-4}{5}}$ (SGK Trang 16)

Số đối của $\dfrac{1}{3}$ là: $-\dfrac{1}{3}$ (hoặc $\dfrac{-1}{3}$)

Số đối của $\dfrac{-1}{3}$ là: $\dfrac{1}{3}$

Số đối của $\dfrac{-4}{5}$ là: $\dfrac{4}{5}$

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG PHÂN SỐ

Tương tự phép cộng số nguyên, phép cộng phân số cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp:

Tính chất Giao hoán Đổi chỗ các số hạng

$$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}$$

Ví dụ: $\dfrac{-1}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{-1}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$

Tính chất Kết hợp Nhóm các số hạng

$$\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right) + \dfrac{p}{q} = \dfrac{a}{b} + \left(\dfrac{c}{d} + \dfrac{p}{q}\right)$$

Ví dụ: $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{-1}{3}\right) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{-1}{3} + \dfrac{1}{2}\right)$

$= \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

Bạn Tròn nhắc nhở: Quy tắc cộng với số 0

$$\dfrac{a}{b} + 0 = \dfrac{a}{b}$$

Ví dụ 3 Tính một cách hợp lí: $\mathbf{A = \dfrac{-3}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{3}{5} + \dfrac{-5}{7}}$ (SGK Trang 17)

Giải:

$$A = \dfrac{-3}{5} + \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{-5}{7}$$

(Áp dụng tính chất giao hoán)

$$= \left(\dfrac{-3}{5} + \dfrac{3}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{7} + \dfrac{-5}{7}\right)$$

(Áp dụng tính chất kết hợp)

$$= 0 + \dfrac{-4}{7} = \mathbf{\dfrac{-4}{7}}$$

(Cộng với số 0)

Luyện tập 4 Tính một cách hợp lí: $\mathbf{B = \dfrac{-1}{9} + \dfrac{8}{7} + \dfrac{10}{9} + \dfrac{-29}{7}}$ (SGK Trang 17)

• Nhóm các phân số có cùng mẫu số:

$$B = \left(\dfrac{-1}{9} + \dfrac{10}{9}\right) + \left(\dfrac{8}{7} + \dfrac{-29}{7}\right)$$

$$= \dfrac{9}{9} + \dfrac{-21}{7} = 1 + (-3) = \mathbf{-2}$$

PHÉP TRỪ HAI PHÂN SỐ

HĐ4 Nhắc lại quy tắc trừ hai phân số (cả tử và mẫu đều dương) đã học rồi tính các hiệu sau:

$$\dfrac{7}{13} - \dfrac{5}{13} = \dfrac{7 - 5}{13} = \mathbf{\dfrac{2}{13}}$$

$$\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{15}{20} - \dfrac{4}{20} = \mathbf{\dfrac{11}{20}}$$

Quy tắc trên vẫn đúng với các phân số có tử và mẫu là các số nguyên.

Quy tắc trừ hai phân số (SGK Trang 17):

Trừ hai phân số cùng mẫu

Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu:

$$\dfrac{a}{m} - \dfrac{b}{m} = \dfrac{a - b}{m}$$

Trừ hai phân số không cùng mẫu

Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số, rồi trừ hai phân số đó sau khi đã đưa về cùng một mẫu dương.

Ví dụ 4 Thực hiện phép trừ phân số (SGK Trang 18):

$$\dfrac{17}{15} - \dfrac{21}{15} = \dfrac{17 - 21}{15} = \mathbf{\dfrac{-4}{15}}$$

$$\dfrac{8}{9} - \dfrac{-1}{3} = \dfrac{8}{9} - \dfrac{-3}{9}$$

$$= \dfrac{8 - (-3)}{9} = \mathbf{\dfrac{11}{9}}$$

Luyện tập 5 Tính (SGK Trang 18):

a) $\mathbf{\dfrac{3}{5} - \dfrac{-1}{3}}$:

• Mẫu chung là $15$:

$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{-1}{3} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{-5}{15}$$

$$= \dfrac{9 - (-5)}{15} = \mathbf{\dfrac{14}{15}}$$

b) $\mathbf{-3 - \dfrac{2}{7}}$:

• Viết $-3 = \dfrac{-21}{7}$:

$$-3 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{-21}{7} - \dfrac{2}{7}$$

$$= \dfrac{-21 - 2}{7} = \mathbf{\dfrac{-23}{7}}$$

Nhận xét (SGK Trang 18):

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

$$\dfrac{5}{6} - \dfrac{-1}{3} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3}$$

$$= \dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{7}{6}}$$

Ví dụ 5 Giải quyết bài toán mở đầu (SGK Trang 18)

Trở lại bài toán mở đầu, buổi tối Tuấn cần số giờ để hoàn thành bức tranh tặng mẹ là:

$$3 - \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{9}{3} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3}$$

$$= \dfrac{9 - 2 - 5}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3}} \text{ (giờ)}$$

Kết luận: Buổi tối Tuấn cần vẽ khoảng $\dfrac{2}{3}$ giờ (khoảng $40$ phút) nữa để hoàn thành bức tranh.

THỬ THÁCH NHỎ: THÁP PHÂN SỐ (SGK TRANG 18)

Thay dấu "?" bằng các phân số thích hợp để hoàn thiện sơ đồ, biết số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tổng của hai số kề nó trong hai ô ở hàng dưới:

• Ô hàng giữa bên trái: Lấy tổng hai ô bên dưới:

$$\dfrac{1}{25} + \dfrac{-6}{25} = \dfrac{1 + (-6)}{25}$$

$$= \mathbf{\dfrac{-5}{25} = \dfrac{-1}{5}}$$

• Ô hàng dưới cùng bên phải: Gọi ô này là $x$. Vì $\dfrac{-6}{25} + x = \dfrac{8}{25}$ nên:

$$x = \dfrac{8}{25} - \dfrac{-6}{25} = \dfrac{8 - (-6)}{25}$$

$$= \mathbf{\dfrac{14}{25}}$$

• Ô trên đỉnh tháp: Lấy tổng hai ô hàng giữa:

$$\dfrac{-5}{25} + \dfrac{8}{25} = \dfrac{(-5) + 8}{25} = \mathbf{\dfrac{3}{25}}$$

BÀI TẬP (SGK TRANG 18)

Bài 6.21 Tính:

a) $\mathbf{\dfrac{-1}{13} + \dfrac{9}{13}}$:

• Hai phân số có cùng mẫu $13$:

$$\dfrac{-1}{13} + \dfrac{9}{13} = \dfrac{(-1) + 9}{13} = \mathbf{\dfrac{8}{13}}$$

b) $\mathbf{\dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12}}$:

• Mẫu chung $\text{BCNN}(8, 12) = 24$:

$$\dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{(-3) \cdot 3}{24} + \dfrac{5 \cdot 2}{24}$$

$$= \dfrac{-9 + 10}{24} = \mathbf{\dfrac{1}{24}}$$

Bài 6.22 Tìm số đối của các phân số sau: $\mathbf{\dfrac{-3}{7}};\; \mathbf{\dfrac{6}{13}};\; \mathbf{\dfrac{4}{-3}}$

Số đối của $\dfrac{-3}{7}$ là:

$\mathbf{\dfrac{3}{7}}$

Số đối của $\dfrac{6}{13}$ là:

$\mathbf{-\dfrac{6}{13}}$

Số đối của $\dfrac{4}{-3}$ là:

$\mathbf{\dfrac{4}{3}}$

Bài 6.23 Tính:

a) $\mathbf{\dfrac{-5}{3} - \dfrac{-7}{3}}$:

• Hai phân số có cùng mẫu $3$:

$$\dfrac{-5}{3} - \dfrac{-7}{3} = \dfrac{(-5) - (-7)}{3}$$

$$= \dfrac{-5 + 7}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$$

b) $\mathbf{\dfrac{5}{6} - \dfrac{8}{9}}$:

• Mẫu chung $\text{BCNN}(6, 9) = 18$:

$$\dfrac{5}{6} - \dfrac{8}{9} = \dfrac{5 \cdot 3}{18} - \dfrac{8 \cdot 2}{18}$$

$$= \dfrac{15 - 16}{18} = \mathbf{\dfrac{-1}{18}}$$

Bài 6.24 Tính một cách hợp lí: $\mathbf{A = \left(-\dfrac{3}{11}\right) + \dfrac{11}{8} - \dfrac{3}{8} + \left(-\dfrac{8}{11}\right)}$

• Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các phân số có cùng mẫu:

$$A = \left[\left(-\dfrac{3}{11}\right) + \left(-\dfrac{8}{11}\right)\right] + \left(\dfrac{11}{8} - \dfrac{3}{8}\right)$$

$$= \dfrac{(-3) + (-8)}{11} + \dfrac{11 - 3}{8} = \dfrac{-11}{11} + \dfrac{8}{8}$$

$$= (-1) + 1 = \mathbf{0}$$

Bài 6.25 Bài toán quản lí tiền lương của chị Chi:

Chị Chi mới đi làm và nhận được tháng lương đầu tiên. Chị quyết định dùng $\mathbf{\dfrac{2}{5}}$ số tiền đó để chi tiêu trong tháng, dành $\mathbf{\dfrac{1}{4}}$ số tiền để mua quà biếu bố mẹ. Tìm số phần tiền lương còn lại của chị Chi.

• Coi toàn bộ tiền lương tháng đầu tiên của chị Chi là $1$ (đơn vị).

• Tổng số phần tiền lương chị Chi đã chi tiêu và mua quà biếu bố mẹ là:

$$\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20}$$

$$= \mathbf{\dfrac{13}{20}} \text{ (tiền lương)}$$

• Số phần tiền lương còn lại của chị Chi là:

$$1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{20}{20} - \dfrac{13}{20}$$

$$= \mathbf{\dfrac{7}{20}} \text{ (tiền lương)}$$

Đáp số: Số tiền lương còn lại của chị Chi là $\dfrac{7}{20}$ số tiền lương.

Bài 6.26 Thời gian biểu trong một ngày của bạn Mai:

Mai tự nhẩm tính về thời gian biểu của mình trong một ngày thì thấy: $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$ thời gian là dành cho việc học ở trường; $\mathbf{\dfrac{1}{24}}$ thời gian dành cho các hoạt động ngoại khoá; $\mathbf{\dfrac{7}{16}}$ thời gian dành cho hoạt động ăn, ngủ. Còn lại là thời gian dành cho các công việc cá nhân khác.

a) Thời gian học ở trường và hoạt động ngoại khoá:

• Tổng thời gian cho việc học ở trường và ngoại khoá là:

$$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{8}{24} + \dfrac{1}{24}$$

$$= \dfrac{9}{24} = \mathbf{\dfrac{3}{8}} \text{ (ngày)}$$

$\implies$ Mai dành $\mathbf{\dfrac{3}{8}}$ thời gian trong ngày.

b) Thời gian dành cho các công việc cá nhân khác:

• Coi tổng thời gian một ngày là $1$. Thời gian cho các việc cá nhân là:

$$1 - \left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{7}{16}\right) = 1 - \left(\dfrac{6}{16} + \dfrac{7}{16}\right)$$

$$= 1 - \dfrac{13}{16} = \mathbf{\dfrac{3}{16}} \text{ (ngày)}$$

$\implies$ Mai dành $\mathbf{\dfrac{3}{16}}$ thời gian trong ngày.

Làm bài tập củng cố của bài này →