Lý thuyết Bài 3: Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên
Thứ tự trên tia số, số liền trước, số liền sau, hai số tự nhiên liên tiếp, tính chất bắc cầu, so sánh hai số tự nhiên, các kí hiệu nhỏ hơn hoặc bằng và lớn hơn hoặc bằng.
BÀI 3: THỨ TỰ TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
Tia số là hình ảnh trực quan tuyệt vời giúp ta so sánh và hiểu rõ thứ tự của các số tự nhiên. Nắm vững khái niệm số liền trước, số liền sau và các quan hệ thứ tự $\le, \ge$ giúp giải quyết nhiều bài toán thực tế.
Mỗi khi có trận bóng đá hay, người dân lại xếp hàng dài chờ mua vé. Nhìn dòng người xếp hàng một, rất dài, bạn Hà tự hỏi:
Bài học này sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi của Hà thông qua khái niệm thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên và hình ảnh trực quan của tia số!
Dòng người xếp hàng mua vé tại sân vận động
Thứ Tự Của Các Số Tự Nhiên
Ta đã biết tập hợp tất cả các số tự nhiên được kí hiệu là $\mathbb{N}$, nghĩa là $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}$. Mỗi phần tử $0; 1; 2; 3; \dots$ của $\mathbb{N}$ được biểu diễn bởi một điểm trên tia số gốc O:
Hình 1.5: Tia số gốc $O$ biểu diễn các số tự nhiên $0; 1; 2; 3; \dots$
Trên tia số, điểm biểu diễn số tự nhiên $a$ gọi là điểm $a$. Chẳng hạn, điểm 3, điểm 6,...
Trong hai điểm 5 và 8 trên tia số, điểm nào nằm bên trái, điểm nào nằm bên phải điểm kia?
Điểm nào nằm ngay bên trái điểm 8? Điểm nào nằm ngay bên phải điểm 8?
Cho $n$ là một số tự nhiên nhỏ hơn 7. Điểm $n$ nằm bên trái hay bên phải điểm 7?
• Trong hai số tự nhiên khác nhau, luôn có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số $a$ nhỏ hơn số $b$ thì trên tia số nằm ngang điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$. Khi đó ta viết:
$a < b$ hoặc $b > a$.
Ta còn nói: điểm $a$ nằm trước điểm $b$, hoặc điểm $b$ nằm sau điểm $a$.
• Mỗi số tự nhiên có đúng một số liền sau. Chẳng hạn, 9 là số liền sau của 8 (còn 8 là số liền trước của 9). Hai số 8 và 9 được gọi là hai số tự nhiên liên tiếp.
• Tính chất bắc cầu: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.
Ví dụ: Vì $a < 5$ và $5 < 7$ nên suy ra $a < 7$.
• Số 0 không có số tự nhiên liền trước và là số tự nhiên nhỏ nhất.
• Trong tình huống ban đầu, ta có thể dùng số tự nhiên $1, 2, 3, \dots$ để đánh số thứ tự người xếp hàng: người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba,...
So Sánh Hai Số Tự Nhiên & Các Kí Hiệu $\le, \ge$
Cho hai số tự nhiên: $m = 12\ 036\ 001$ và $n = 12\ 035\ 987$.
a) Cùng có 8 chữ số, các chữ số từ trái sang phải giống nhau đến hàng chục nghìn. Ở hàng nghìn có $6 > 5$ nên: $m > n$.
b) Trên tia số nằm ngang, vì $n < m$ nên điểm $n$ nằm trước điểm $m$.
Theo dõi kết quả bán hàng trong ngày:
• Tiền thu buổi sáng nhiều hơn buổi chiều (Sáng $>$ Chiều).
• Tiền thu buổi tối ít hơn buổi chiều (Tối $<$ Chiều, tức là Chiều $>$ Tối).
• Kí hiệu $a \le b$ (đọc là "a nhỏ hơn hoặc bằng b") có nghĩa là: $a < b$ hoặc $a = b$.
So sánh ví dụ:
$\{x \in \mathbb{N} \mid x < 4\} = \{0; 1; 2; 3\}$
$\{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\} = \{0; 1; 2; 3; \mathbf{4}\}$ (có thêm số 4).
• Kí hiệu $a \ge b$ (đọc là "a lớn hơn hoặc bằng b") có nghĩa là: $a > b$ hoặc $a = b$.
• Tính chất bắc cầu:
Nếu $a \le b$ và $b \le c$ thì $a \le c$.
Trong các số $3; 5; 8; 9$, số nào thuộc tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \ge 5\}$, số nào thuộc tập hợp $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 5\}$?
• Các số thỏa mãn $x \ge 5$ là $5; 8; 9$ $\rightarrow$ $5 \in A;\ 8 \in A;\ 9 \in A$ (số 3 không thuộc $A$).
• Các số thỏa mãn $x \le 5$ là $3; 5$ $\rightarrow$ $3 \in B;\ 5 \in B$ (số 8, 9 không thuộc $B$).
* Lưu ý: Số 5 vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B vì $5 = 5$.