Toán Lớp 9 Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 4 lượt xem

Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm và đồ thị biểu diễn tập nghiệm. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm và ý nghĩa hình học.

Toán 9 - Kết nối tri thức - Tập 1

Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu: Nhận biết PT, Hệ PT bậc nhất hai ẩn & Nghiệm Biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

Tình huống mở đầu (Bài toán cổ dân gian)

Xét bài toán cổ sau:

“Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui.

Chia ba mỗi quả quýt rồi,

Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh.

Trăm người, trăm miếng ngọt lành.

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?”

Giả sử $x$ là số quả cam, $y$ là số quả quýt cần tìm. Hãy lập các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán.

Hình minh họa: Quýt, cam mười bảy quả tươi chia cho một trăm người

KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Định nghĩa, nghiệm và cách biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục Oxy

Hoạt động 1 (HĐ1 - Trang 6 SGK)

Trong bài toán mở đầu, hãy viết biểu thức biểu thị:

a) Tổng số quả cam và quả quýt;
b) Số người ăn cam, nếu mỗi quả cam chia cho 10 người;
c) Số người ăn quýt, nếu mỗi quả quýt chia cho 3 người.

Xem lời giải chi tiết

a) Gọi $x$ là số quả cam, $y$ là số quả quýt. Biểu thức biểu thị tổng số quả cam và quả quýt là: $x + y$.

b) Mỗi quả cam chia cho 10 người, vậy $x$ quả cam sẽ chia cho số người là: $10x$ (người).

c) Cứ 1 quả quýt chia cho 3 người, vậy $y$ quả quýt sẽ chia cho số người là: $3y$ (người).

Hoạt động 2 (HĐ2 - Trang 6 SGK)

Trong bài toán mở đầu, giả sử số quả cam là $x$, số quả quýt là $y$. Khi đó:

a) Hãy viết hệ thức biểu thị điều kiện: Tổng số quả cam và quả quýt là 17;
b) Hãy viết hệ thức biểu thị điều kiện: Tổng số người ăn cam và số người ăn quýt là 100.

Xem lời giải chi tiết

a) Do tổng số quả cam và quả quýt là 17 nên ta có hệ thức: $x + y = 17$.

b) Số người ăn cam là $10x$, số người ăn quýt là $3y$. Do tổng số người là 100 nên ta có hệ thức: $10x + 3y = 100$.

Các hệ thức $x + y = 17$ và $10x + 3y = 100$ là các ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.

ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức dạng:

$ax + by = c \quad (1)$

trong đó $a, b$ và $c$ là những số cho trước, $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Trong phương trình (1), $x$ và $y$ gọi là các ẩn số; $a, b, c$ gọi là các hệ số.

Ví dụ 1 (Trang 6 SGK) Nhận biết phương trình bậc nhất hai ẩn

Các phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x - 3y = 1$;

b) $0x + 4y = -5$;

c) $3x + 0y = 7$;

d) $0x + 0y = 2$;

e) $x^2 + y = 3$.

Xem lời giải chi tiết

• Các phương trình a), b), c) là phương trình bậc nhất hai ẩn:

Phương trình $2x - 3y = 1$ có $a = 2 \ne 0, b = -3, c = 1$.
Phương trình $0x + 4y = -5$ có $a = 0, b = 4 \ne 0, c = -5$.
Phương trình $3x + 0y = 7$ có $a = 3 \ne 0, b = 0, c = 7$.

• Phương trình d) $0x + 0y = 2$ không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ số $a = b = 0$.

• Phương trình e) $x^2 + y = 3$ không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa lũy thừa bậc hai $x^2$ (ẩn $x$ không phải bậc nhất).

Luyện tập 1 (Trang 6 SGK)

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số $a, b, c$ của phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

a) $x - y = 4$;

b) $0x + 0y = -2$;

c) $2x - \frac{1}{2}y = 0$;

d) $0x + 3y = 1{,}5$;

e) $4x + 0y = -2$;

g) $x + 2y - z = 1$.

Xem lời giải chi tiết

• Các phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn:

a) $x - y = 4$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số $a = 1, b = -1, c = 4$.
c) $2x - \frac{1}{2}y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số $a = 2, b = -\frac{1}{2}, c = 0$.
d) $0x + 3y = 1{,}5$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số $a = 0, b = 3, c = 1{,}5$.
e) $4x + 0y = -2$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số $a = 4, b = 0, c = -2$.

• Các phương trình không phải phương trình bậc nhất hai ẩn:

b) $0x + 0y = -2$ không phải vì $a = 0$ và $b = 0$.
g) $x + 2y - z = 1$ không phải vì đây là phương trình có 3 ẩn số ($x, y, z$).

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn: $ax + by = c \quad (1)$

Mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho $a x_0 + b y_0 = c$ được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Khi đó, ta cũng nói phương trình (1) có nghiệm là $(x; y) = (x_0; y_0)$ hay $(x_0; y_0)$ thỏa mãn phương trình (1).

Ví dụ 2 (Trang 7 SGK)

Cho phương trình $x + 2y = 5$.

a) Chứng tỏ rằng cặp số $(1; 2)$ là một nghiệm của phương trình.
b) Cặp số $(3; 2)$ có phải là một nghiệm của phương trình hay không?

c) Hãy cho biết các cặp số $(x; y)$ trong bảng sau có là nghiệm của phương trình hay không?

$x$	-3	-1	1	3	5
$y$	4	3	2	1	0

d) Tìm thêm hai nghiệm khác của phương trình.

Xem lời giải chi tiết

a) Thay $x = 1$ và $y = 2$ vào vế trái của phương trình, ta được:

$1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$ (bằng vế phải).

Vậy cặp số $(1; 2)$ là một nghiệm của phương trình.

b) Thay $x = 3$ và $y = 2$ vào vế trái của phương trình, ta được:

$3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7 \ne 5$ (khác vế phải).

Vậy cặp số $(3; 2)$ không phải là nghiệm của phương trình.

c) Lần lượt thay từng cặp số $(x; y)$ trong bảng vào vế trái $x + 2y$:

Với $(-3; 4)$: $-3 + 2 \cdot 4 = -3 + 8 = 5$ (thỏa mãn).
Với $(-1; 3)$: $-1 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5$ (thỏa mãn).
Với $(1; 2)$: $1 + 2 \cdot 2 = 5$ (thỏa mãn).
Với $(3; 1)$: $3 + 2 \cdot 1 = 5$ (thỏa mãn).
Với $(5; 0)$: $5 + 2 \cdot 0 = 5$ (thỏa mãn).

Do đó, tất cả các cặp số trong bảng trên đều là nghiệm của phương trình $x + 2y = 5$.

d) Để tìm thêm nghiệm, ta có thể chọn giá trị tùy ý cho $y$ rồi tính $x = 5 - 2y$:

Cho $y = -1 \implies x = 5 - 2(-1) = 7$. Ta được nghiệm $(7; -1)$.
Cho $y = 5 \implies x = 5 - 2(5) = -5$. Ta được nghiệm $(-5; 5)$.

CHÚ Ý (Trang 7 SGK)

• Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, mỗi nghiệm $(x_0; y_0)$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ $(x_0; y_0)$.

• Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm.

• Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $ax + by = c$ được gọi là đồ thị (hay đường thẳng biểu diễn tập nghiệm) của phương trình đó, kí hiệu là đường thẳng $d: ax + by = c$.

Ví dụ 3 (Trang 7-8 SGK) Biểu diễn hình học tập nghiệm

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) $x + 2y = 3$;

b) $0x + y = -2$;

c) $x + 0y = 3$.

Hình 1.1a: Đồ thị đường thẳng x + 2y = 3

Hình 1.1a: Đồ thị đường thẳng $d: x + 2y = 3$ qua $A(0; 1{,}5)$ và $B(3; 0)$

Hình 1.1b: Đồ thị đường thẳng $y = -2$ song song với trục $Ox$

Hình 1.1c: Đồ thị đường thẳng $x = 3$ song song với trục $Oy$

Xem lời giải chi tiết

a) Phương trình $x + 2y = 3$:

Ta viết phương trình dưới dạng: $y = -0{,}5x + 1{,}5$.

Mỗi cặp số $(x; -0{,}5x + 1{,}5)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý là một nghiệm của phương trình. Khi đó ta nói phương trình có nghiệm (tổng quát) là: $(x; -0{,}5x + 1{,}5)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng $y = -0{,}5x + 1{,}5$. Ta cũng gọi đường thẳng này là đường thẳng $d: x + 2y = 3$.

Để vẽ đường thẳng $d$, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn $A(0; 1{,}5)$ và $B(3; 0)$ rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó (Hình 1.1a).

Hình 1.1a: Đồ thị đường thẳng $d: x + 2y = 3$ qua $A(0; 1{,}5)$ và $B(3; 0)$

b) Phương trình $0x + y = -2$:

Ta viết gọn thành $y = -2$. Phương trình có nghiệm là $(x; -2)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm $A(0; -2)$. Ta gọi đó là đường thẳng $y = -2$ (Hình 1.1b).

Hình 1.1b: Đồ thị đường thẳng $y = -2$ song song với trục $Ox$

c) Phương trình $x + 0y = 3$:

Ta viết gọn thành $x = 3$. Phương trình có nghiệm là $(3; y)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm $B(3; 0)$. Ta gọi đó là đường thẳng $x = 3$ (Hình 1.1c).

Hình 1.1c: Đồ thị đường thẳng $x = 3$ song song với trục $Oy$

NHẬN XÉT TỔNG QUÁT (Trang 8 SGK)

Đồ thị của phương trình $ax + by = c$ là một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$:

Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì đường thẳng đó cắt cả hai trục tọa độ: cắt $Ox$ tại điểm $\left(\frac{c}{a}; 0\right)$, cắt $Oy$ tại điểm $\left(0; \frac{c}{b}\right)$.
Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có dạng $by = c$ (hay $y = \frac{c}{b}$). Đường thẳng song song với trục hoành $Ox$ (hoặc trùng với $Ox$ nếu $c = 0$) và cắt $Oy$ tại điểm $\left(0; \frac{c}{b}\right)$.
Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có dạng $ax = c$ (hay $x = \frac{c}{a}$). Đường thẳng song song với trục tung $Oy$ (hoặc trùng với $Oy$ nếu $c = 0$) và cắt $Ox$ tại điểm $\left(\frac{c}{a}; 0\right)$.

Luyện tập 2 (Trang 8 SGK)

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) $2x - 3y = 5$;

b) $0x + y = 3$;

c) $x + 0y = -2$.

Xem lời giải chi tiết

a) Phương trình $2x - 3y = 5$:

• Ta có: $3y = 2x - 5 \iff y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$.

• Nghiệm tổng quát: $\left(x; \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}\right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm là đường thẳng đi qua hai điểm $P\left(0; -\frac{5}{3}\right)$ và $Q\left(\frac{5}{2}; 0\right)$.

b) Phương trình $0x + y = 3$ (tức $y = 3$):

• Nghiệm tổng quát: $(x; 3)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm là đường thẳng đi qua điểm $(0; 3)$ và song song với trục hoành $Ox$.

c) Phương trình $x + 0y = -2$ (tức $x = -2$):

• Nghiệm tổng quát: $(-2; y)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý.

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm là đường thẳng đi qua điểm $(-2; 0)$ và song song với trục tung $Oy$.

KHÁI NIỆM HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng tổng quát, nghiệm chung và ý nghĩa hình học (giao điểm của hai đường thẳng)

ĐỊNH NGHĨA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:

$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \quad (I)$

trong đó $ax + by = c$ và $a'x + b'y = c'$ là những phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ (I) được gọi là một nghiệm của hệ (I).

• Nếu hai phương trình trong hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.

• Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ 4 (Trang 8 SGK)

Cho hệ phương trình:

$\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$

Trong hai cặp số $(1; 1)$ và $(2; 3)$, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

Xem lời giải chi tiết

• Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào hai phương trình của hệ:

$2(1) - 1 = 1$ (thỏa mãn phương trình thứ nhất).
$1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ (thỏa mãn phương trình thứ hai).

Do $(1; 1)$ là nghiệm của cả hai phương trình nên $(1; 1)$ là một nghiệm của hệ phương trình.

• Thay $x = 2$ và $y = 3$ vào phương trình thứ nhất:

$2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$ (thỏa mãn phương trình 1).

Thay vào phương trình thứ hai:

$2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 \ne -1$ (không thỏa mãn phương trình 2).

Do $(2; 3)$ không thỏa mãn phương trình thứ hai nên $(2; 3)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ 5 (Trang 9 SGK)

Giải thích tại sao cặp số $(1; 2)$ là một nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Xem lời giải chi tiết

Ta thấy khi $x = 1$ và $y = 2$ thì:

$2x - y = 2 \cdot 1 - 2 = 0$ nên $(1; 2)$ là nghiệm của phương trình thứ nhất;
$x + y = 1 + 2 = 3$ nên $(1; 2)$ là nghiệm của phương trình thứ hai.

Vậy $(1; 2)$ là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là $(1; 2)$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Trang 9 SGK)

Trong Ví dụ 5, cặp số $(1; 2)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho có nghĩa là điểm $M(1; 2)$ vừa thuộc đường thẳng $d_1: 2x - y = 0$, vừa thuộc đường thẳng $d_2: x + y = 3$. Vậy $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ (Hình 1.2).

Tổng quát cho hệ: $\begin{cases} ax + by = c \quad (d) \\ a'x + b'y = c' \quad (d') \end{cases}$

Hệ có nghiệm duy nhất: $(d)$ và $(d')$ cắt nhau tại một điểm duy nhất $M(x_0; y_0)$.
Hệ vô nghiệm: $(d)$ và $(d')$ song song với nhau.
Hệ có vô số nghiệm: $(d)$ và $(d')$ trùng nhau.

Hình 1.2: Giao điểm $M(1; 2)$ của hai đường thẳng $2x - y = 0$ và $x + y = 3$

Luyện tập 3 (Trang 9 SGK)

Cho hệ phương trình:

$\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ -6x + 4y = 0 \end{cases}$

a) Cặp số $(1; 1)$ có phải là một nghiệm của hệ phương trình hay không?
b) Đường thẳng $d_1: 3x - 2y = 1$ và đường thẳng $d_2: -6x + 4y = 0$ có vị trí tương đối như thế nào? Từ đó suy ra số nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Xem lời giải chi tiết

a) Thay $x = 1, y = 1$ vào hai phương trình của hệ:

$3(1) - 2(1) = 3 - 2 = 1$ (thỏa mãn phương trình 1).
$-6(1) + 4(1) = -6 + 4 = -2 \ne 0$ (không thỏa mãn phương trình 2).

Vậy cặp số $(1; 1)$ không phải là một nghiệm của hệ phương trình.

b) Viết lại phương trình hai đường thẳng về dạng $y = ax + b$:

$d_1: 3x - 2y = 1 \iff 2y = 3x - 1 \iff y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$. (Hệ số góc $a_1 = \frac{3}{2}$, tung độ gốc $b_1 = -\frac{1}{2}$).
$d_2: -6x + 4y = 0 \iff 4y = 6x \iff y = \frac{3}{2}x$. (Hệ số góc $a_2 = \frac{3}{2}$, tung độ gốc $b_2 = 0$).

Vì $a_1 = a_2 = \frac{3}{2}$ và $b_1 \ne b_2$ nên hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song với nhau.

Hai đường thẳng không có điểm chung nào, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

VẬN DỤNG: GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN CỔ (Trang 9 SGK)

Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu:

a) Gọi $x$ là số quả cam, $y$ là số quả quýt ($x, y \in \mathbb{N}^*; x, y < 17$). Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thể hiện các điều kiện của bài toán.
b) Cặp số $(7; 10)$ có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Từ đó cho biết đáp số của bài toán cổ.

Xem lời giải chi tiết

a) Lập hệ phương trình:

Tổng số quả cam và quýt là 17 quả: $x + y = 17$.
Mỗi quả cam chia 10 người ăn, mỗi quả quýt chia 3 người ăn, tổng số có 100 người: $10x + 3y = 100$.

Ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} x + y = 17 \\ 10x + 3y = 100 \end{cases}$

b) Kiểm tra cặp số $(7; 10)$:

Thay $x = 7$ và $y = 10$ vào hệ phương trình:

$7 + 10 = 17$ (thỏa mãn điều kiện tổng số quả).
$10 \cdot 7 + 3 \cdot 10 = 70 + 30 = 100$ (thỏa mãn điều kiện tổng số người).

Cả hai giá trị $x = 7, y = 10$ đều là các số nguyên dương nhỏ hơn 17.

Vậy cặp số $(7; 10)$ là nghiệm của hệ phương trình.

➔ Đáp số bài toán cổ: Có đúng 7 quả cam và 10 quả quýt!

BÀI TẬP CUỐI BÀI 1 (SGK TRANG 10)

Lời giải chi tiết đầy đủ 5 bài tập từ Bài 1.1 đến Bài 1.5

Bài 1.1 (Trang 10 SGK)

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $3x + 2y = 1$;

b) $0x - 2y = 4$;

c) $2x + 0y = 0$;

d) $0x + 0y = 3$;

e) $x^2 + 2y = 1$.

Xem lời giải chi tiết

• Các phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn:

a) $3x + 2y = 1$ là phương trình bậc nhất hai ẩn (với $a = 3 \ne 0, b = 2, c = 1$).
b) $0x - 2y = 4$ là phương trình bậc nhất hai ẩn (với $a = 0, b = -2 \ne 0, c = 4$).
c) $2x + 0y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn (với $a = 2 \ne 0, b = 0, c = 0$).

• Các phương trình không phải phương trình bậc nhất hai ẩn:

d) $0x + 0y = 3$ không phải vì cả hai hệ số $a = b = 0$.
e) $x^2 + 2y = 1$ không phải vì ẩn $x$ có bậc 2.

Bài 1.2 (Trang 10 SGK)

Tìm nghiệm của phương trình $2x - 3y = 1$:

a) Với $x = -1$;

b) Với $x = 2$;

c) Với $y = 1$;

d) Với $y = -3$.

Xem lời giải chi tiết

Từ phương trình $2x - 3y = 1$, ta có: $3y = 2x - 1 \iff y = \frac{2x - 1}{3}$ và $2x = 3y + 1 \iff x = \frac{3y + 1}{2}$.

a) Với $x = -1$: Thay vào ta có: $2(-1) - 3y = 1 \iff -2 - 3y = 1 \iff 3y = -3 \iff y = -1$.
➔ Nghiệm là: $(-1; -1)$.
b) Với $x = 2$: Thay vào ta có: $2(2) - 3y = 1 \iff 4 - 3y = 1 \iff 3y = 3 \iff y = 1$.
➔ Nghiệm là: $(2; 1)$.
c) Với $y = 1$: Thay vào ta có: $2x - 3(1) = 1 \iff 2x - 3 = 1 \iff 2x = 4 \iff x = 2$.
➔ Nghiệm là: $(2; 1)$.
d) Với $y = -3$: Thay vào ta có: $2x - 3(-3) = 1 \iff 2x + 9 = 1 \iff 2x = -8 \iff x = -4$.
➔ Nghiệm là: $(-4; -3)$.

Bài 1.3 (Trang 10 SGK)

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) $2x - y = 3$;

b) $0x + 2y = -4$;

c) $3x + 0y = 6$.

Xem lời giải chi tiết

a) Phương trình $2x - y = 3$:

• Ta có: $y = 2x - 3$. Nghiệm tổng quát: $(x; 2x - 3)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm là đường thẳng đi qua điểm $A(0; -3)$ và điểm $B(1{,}5; 0)$.

b) Phương trình $0x + 2y = -4$:

• Ta có: $2y = -4 \iff y = -2$. Nghiệm tổng quát: $(x; -2)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm là đường thẳng đi qua điểm $(0; -2)$ và song song với trục hoành $Ox$.

c) Phương trình $3x + 0y = 6$:

• Ta có: $3x = 6 \iff x = 2$. Nghiệm tổng quát: $(2; y)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý.

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm là đường thẳng đi qua điểm $(2; 0)$ và song song với trục tung $Oy$.

Bài 1.4 (Trang 10 SGK)

Cho hệ phương trình:

$\begin{cases} 2x = -6 \\ 5x + 4y = 1 \end{cases}$

a) Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ: $(3; -4), (-3; 4), (-3; -4)$?
b) Giải thích vì sao hệ đã cho có nghiệm duy nhất mà không cần giải hệ phương trình.

Xem lời giải chi tiết

a) Kiểm tra các cặp số:

Từ phương trình thứ nhất $2x = -6 \implies x = -3$. Do đó cặp số $(3; -4)$ có $x = 3 \ne -3$ nên loại ngay.

Thay hai cặp số còn lại có $x = -3$ vào phương trình thứ hai $5x + 4y = 1$:

Với $(-3; 4)$: $5(-3) + 4(4) = -15 + 16 = 1$ (thỏa mãn!).
Với $(-3; -4)$: $5(-3) + 4(-4) = -15 - 16 = -31 \ne 1$ (loại).

Vậy cặp số $(-3; 4)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

b) Giải thích hệ có nghiệm duy nhất:

• Đường thẳng thứ nhất $d_1: 2x = -6 \iff x = -3$ là đường thẳng song song với trục tung $Oy$.

• Đường thẳng thứ hai $d_2: 5x + 4y = 1 \iff y = -\frac{5}{4}x + \frac{1}{4}$ là đường thẳng có hệ số góc $a = -\frac{5}{4} \ne 0$, không song song với trục tung $Oy$.

Do một đường thẳng thẳng đứng song song với $Oy$ và một đường thẳng xiên luôn luôn cắt nhau tại đúng một giao điểm duy nhất, nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà không cần giải hệ.

Bài 1.5 (Trang 10 SGK)

Cho hai đường thẳng $d_1: 5x + 4y = 8$ và $d_2: 3x + 5y = -3$.

a) Cặp số $(4; -3)$ có phải là nghiệm của phương trình $5x + 4y = 8$ hay không?
b) Cặp số $(4; -3)$ có phải là nghiệm của phương trình $3x + 5y = -3$ hay không?
c) Từ đó suy ra giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là điểm nào?

Xem lời giải chi tiết

a) Thay $x = 4, y = -3$ vào vế trái của phương trình $5x + 4y = 8$:

$5 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 20 - 12 = 8$ (bằng vế phải).

Vậy cặp số $(4; -3)$ là một nghiệm của phương trình $5x + 4y = 8$.

b) Thay $x = 4, y = -3$ vào vế trái của phương trình $3x + 5y = -3$:

$3 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 12 - 15 = -3$ (bằng vế phải).

Vậy cặp số $(4; -3)$ là một nghiệm của phương trình $3x + 5y = -3$.

c) Do cặp số $(4; -3)$ đồng thời thỏa mãn phương trình của cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, nên điểm $M(4; -3)$ thuộc cả hai đường thẳng đó.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chính là điểm $M(4; -3)$.

Hình vẽ minh họa: Giao điểm $M(4; -3)$ của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$

Làm bài tập củng cố của bài này →