Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ý nghĩa hình học của hệ hai phương trình.
Khái niệm, thuật ngữ
- • Phương pháp thế
- • Phương pháp cộng đại số
Kiến thức, kĩ năng
Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay (MTCT).
Tình huống mở đầu (SGK trang 11)
Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:
- Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;
- Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp của cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.
Phương pháp thế
Cho hệ phương trình: \(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}\). Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
- Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn \(y\) theo \(x\) rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn \(x\). Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của \(x\).
- Sử dụng giá trị tìm được của \(x\) để tìm giá trị của \(y\) rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Xem lời giải chi tiết
Bước 1: Từ phương trình thứ nhất \(x + y = 3\), ta biểu diễn \(y\) theo \(x\): \(y = 3 - x\).
Thế \(y = 3 - x\) vào phương trình thứ hai \(2x - 3y = 1\), ta được:
Bước 2: Thay \(x = 2\) vào biểu thức \(y = 3 - x\), ta có: \(y = 3 - 2 = 1\).
⇒ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((2; 1)\).
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Xem lời giải chi tiết
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(y = 2x - 3\).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
Từ đó: \(y = 2 \cdot 2 - 3 = 1\).
⇒ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \((2; 1)\).
Xem lời giải chi tiết
a) Giải hệ \(\begin{cases} x - 3y = 2 \quad (1) \\ -2x + 5y = 1 \quad (2) \end{cases}\):
Từ (1) suy ra: \(x = 3y + 2\). Thế vào (2) ta được:
\(-2(3y + 2) + 5y = 1 \iff -6y - 4 + 5y = 1 \iff -y = 5 \iff y = -5\)
Thay \(y = -5\) vào \(x = 3y + 2\), ta có: \(x = 3(-5) + 2 = -13\).
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất là \((-13; -5)\).
b) Giải hệ \(\begin{cases} 4x + y = -1 \quad (1) \\ 7x + 2y = -3 \quad (2) \end{cases}\):
Từ (1) suy ra: \(y = -1 - 4x\). Thế vào (2) ta được:
\(7x + 2(-1 - 4x) = -3 \iff 7x - 2 - 8x = -3 \iff -x = -1 \iff x = 1\)
Thay \(x = 1\) vào \(y = -1 - 4x\), ta có: \(y = -1 - 4(1) = -5\).
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất là \((1; -5)\).
Xem lời giải chi tiết
Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = y - 2\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\(2(y - 2) - 2y = 8 \iff 0y - 4 = 8 \quad (1)\)
Do không có giá trị nào của \(y\) thoả mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Xem lời giải chi tiết
Từ phương trình thứ nhất: \(y = 2x + 3\). Thế vào phương trình thứ hai:
\(4x - 2(2x + 3) = -4 \iff 4x - 4x - 6 = -4 \iff 0x = 2\) (vô lý)
⇒ Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Xem lời giải chi tiết
Từ phương trình thứ nhất ta có \(y = x - 2\) (2). Thế vào phương trình thứ hai:
\(3x - 3(x - 2) = 6 \iff 0x = 0 \quad (3)\)
Ta thấy mọi giá trị của \(x\) đều thoả mãn (3). Với giá trị tuỳ ý của \(x\), giá trị tương ứng của \(y\) được tính bởi (2).
⇒ Hệ có vô số nghiệm là \((x; x - 2)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tuỳ ý.
Xem lời giải chi tiết
Từ phương trình thứ nhất suy ra: \(x = -1 - 3y\). Thế vào phương trình thứ hai:
\(3(-1 - 3y) + 9y = -3 \iff -3 - 9y + 9y = -3 \iff 0y = 0\) (luôn đúng)
⇒ Hệ có vô số nghiệm dạng \((-1 - 3y; y)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tuỳ ý (hoặc \((x; -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3})\) với \(x \in \mathbb{R}\)).
Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi \(x\) là số luống trong vườn, \(y\) là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (\(x, y \in \mathbb{N}^*\)).
a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn \(x, y\).
b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.
Xem lời giải chi tiết
Số cây bắp cải ban đầu của cả mảnh vườn là \(xy\) (cây).
- Nếu tăng 8 luống và mỗi luống ít đi 3 cây thì số luống là \(x + 8\), số cây mỗi luống là \(y - 3\). Khi đó số cải bắp cả vườn ít đi 108 cây:
\((x + 8)(y - 3) = xy - 108 \iff xy - 3x + 8y - 24 = xy - 108 \iff -3x + 8y = -84 \quad (1)\) - Nếu giảm 4 luống và mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số luống là \(x - 4\), số cây mỗi luống là \(y + 2\). Khi đó số cải bắp cả vườn tăng thêm 64 cây:
\((x - 4)(y + 2) = xy + 64 \iff xy + 2x - 4y - 8 = xy + 64 \iff 2x - 4y = 72 \quad (2)\)
a) Ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} -3x + 8y = -84 \\ 2x - 4y = 72 \end{cases}\)
b) Từ phương trình (2) chia cả 2 vế cho 2: \(x - 2y = 36 \implies x = 2y + 36\).
Thế vào (1): \(-3(2y + 36) + 8y = -84 \iff -6y - 108 + 8y = -84 \iff 2y = 24 \iff y = 12\) (thoả mãn).
Từ đó: \(x = 2 \cdot 12 + 36 = 60\) (thoả mãn).
Tổng số cây bắp cải được trồng trên mảnh vườn là: \(xy = 60 \times 12 = 720\) (cây).
Phương pháp cộng đại số
Cho hệ phương trình: \(\begin{cases} 2x + 2y = 3 \\ x - 2y = 6 \end{cases}\). Ta thấy hệ số của \(y\) trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
- Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn \(x\). Giải phương trình này để tìm \(x\).
- Sử dụng giá trị \(x\) tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của \(y\) rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Xem lời giải chi tiết
Bước 1: Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta được:
Bước 2: Thay \(x = 3\) vào phương trình thứ hai \(x - 2y = 6\), ta có:
⇒ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((3; -1{,}5)\).
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Xem lời giải chi tiết
Hệ số của \(x\) đối nhau (\(-2\) và \(2\)). Cộng từng vế hai phương trình ta được:
\(8y = 16 \iff y = 2\)
Thế \(y = 2\) vào phương trình thứ hai: \(2x + 3(2) = 4 \iff 2x = -2 \iff x = -1\).
⇒ Nghiệm của hệ là \((-1; 2)\).
Xem lời giải chi tiết
Hệ số của \(x\) bằng nhau (\(5\)). Trừ từng vế của hai phương trình:
\((5x - 5x) + (-7y + 3y) = 9 - 1 \iff -4y = 8 \iff y = -2\)
Thế \(y = -2\) vào phương trình thứ nhất: \(5x - 7(-2) = 9 \iff 5x = -5 \iff x = -1\).
⇒ Nghiệm của hệ là \((-1; -2)\).
Xem lời giải chi tiết
a) Giải hệ \(\begin{cases} -4x + 3y = 0 \\ 4x - 5y = -8 \end{cases}\):
Cộng từng vế hai phương trình: \(-2y = -8 \iff y = 4\).
Thay \(y = 4\) vào phương trình đầu: \(-4x + 3(4) = 0 \iff -4x = -12 \iff x = 3\).
⇒ Nghiệm của hệ là \((3; 4)\).
b) Giải hệ \(\begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ x + 3y = 9 \end{cases}\):
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \(3x = -9 \iff x = -3\).
Thay \(x = -3\) vào phương trình thứ hai: \(-3 + 3y = 9 \iff 3y = 12 \iff y = 4\).
⇒ Nghiệm của hệ là \((-3; 4)\).
Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Xem lời giải chi tiết
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2:
Cộng từng vế: \(13x = 13 \iff x = 1\).
Thế \(x = 1\) vào phương trình đầu: \(3(1) + 2y = 7 \iff 2y = 4 \iff y = 2\).
⇒ Nghiệm của hệ là \((1; 2)\).
Xem lời giải chi tiết
Nhân phương trình 1 với 2, phương trình 2 với 3 để khử \(y\):
Trừ từng vế: \(8x - (-15x) = 12 - 12 \iff 23x = 0 \iff x = 0\).
Thay \(x = 0\) vào phương trình 1: \(3y = 6 \iff y = 2\).
⇒ Nghiệm của hệ là \((0; 2)\).
Xem lời giải chi tiết
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được: \(-3x + 5y = -2\).
Cộng từng vế với phương trình đầu: \(0x + 0y = 0\) (luôn thoả mãn với mọi \(x, y\)).
Từ \(3x - 5y = 2 \implies y = \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}\).
⇒ Hệ có vô số nghiệm là \((x; \frac{3}{5}x - \frac{2}{5})\) với \(x \in \mathbb{R}\).
Xem lời giải chi tiết
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4: \(-2x + 2y = 4\).
Trừ từng vế cho phương trình thứ hai: \(0x + 0y = 4 - 8 = -4\) (vô lý).
⇒ Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT)
Quy trình tìm nghiệm hệ phương trình bằng MTCT
Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng chuẩn tắc: \[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]
Ví dụ minh họa: Giải hệ \(\begin{cases} 2x + 3y - 4 = 0 \\ 5x + 6y - 7 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 5x + 6y = 7 \end{cases}\)
Hệ số: \(a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 4; a_2 = 5, b_2 = 6, c_2 = 7\).
- Bước 1 (Chọn chức năng): Bấm MENU 9 1 2 (trên fx-580VN X) hoặc MODE 5 1 (trên fx-570VN Plus).
- Bước 2 (Nhập hệ số): Bấm lần lượt: 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 =.
- Bước 3 (Đọc kết quả): Bấm phím = màn hình hiện \(x = -1\), bấm tiếp = màn hình hiện \(y = 2\). Nghiệm là \((-1; 2)\).
• Nếu máy báo "Infinite Sol": Hệ phương trình có vô số nghiệm.
• Nếu máy báo "No-Solution": Hệ phương trình vô nghiệm.
Xem lời giải chi tiết
a) Nhập hệ số: \(a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -4; a_2 = -3, b_2 = -7, c_2 = 13\).
⇒ Màn hình cho kết quả: \(x = 2; y = -4\). Nghiệm duy nhất là \((2; -4)\).
b) Nhập hệ số: \(a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 1; a_2 = -1, b_2 = -1{,}5, c_2 = 1\).
⇒ Màn hình báo "No-Solution" ⇒ Hệ vô nghiệm.
c) Chuyển vế phương trình về dạng chuẩn: \(\begin{cases} 8x - 2y = 6 \\ 4x - y = 3 \end{cases}\).
⇒ Màn hình báo "Infinite Sol" ⇒ Hệ có vô số nghiệm.
Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.
a) Gọi \(x\) là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%, \(y\) là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua \(x\) và \(y\):
- Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.
- Tổng số mililít acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.
b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là \(x, y\). Giải hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.
Xem lời giải chi tiết
Đổi đơn vị: \(2\text{ lít} = 2000\text{ ml}\).
a)
- Thể tích dung dịch sau khi trộn là: \(x + y\) (ml).
- Lượng acid HCl nguyên chất trong dung dịch 20% là \(0{,}2x\) (ml); trong dung dịch 5% là \(0{,}05y\) (ml). Tổng lượng acid nguyên chất là: \(0{,}2x + 0{,}05y\) (ml).
b) Lượng acid HCl nguyên chất trong 2 lít (2000 ml) dung dịch 10% là: \(2000 \times 10\% = 200\) (ml).
Ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} x + y = 2000 \\ 0{,}2x + 0{,}05y = 200 \end{cases} \iff \begin{cases} x + y = 2000 \\ 4x + y = 4000 \end{cases}\)
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên: \(3x = 2000 \implies x = \frac{2000}{3} \approx 666{,}67\text{ ml}\).
Suy ra: \(y = 2000 - \frac{2000}{3} = \frac{4000}{3} \approx 1333{,}33\text{ ml}\).
⇒ Cần lấy khoảng \(666{,}7\text{ ml}\) dung dịch HCl 20% và \(1333{,}3\text{ ml}\) dung dịch HCl 5%.
Em có biết? Giải hệ phương trình bằng phương pháp hình học
Mỗi nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\) là một toạ độ điểm chung của hai đường thẳng \(d_1: ax + by = c\) và \(d_2: a'x + b'y = c'\). Do đó số nghiệm của hệ chính là số giao điểm của hai đường thẳng đó:
Có đúng 1 điểm chung ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.
Không có điểm chung ⇒ Hệ vô nghiệm.
Có vô số điểm chung ⇒ Hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 1 (Hình 1.4 SGK trang 18): Cắt nhau tại điểm duy nhất
Hệ \(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases}\) có hai đường thẳng cắt nhau tại \(M(2; 1)\) ⇒ Nghiệm duy nhất là \((2; 1)\).
Ví dụ 2 (Hình 1.5 SGK trang 18): Hai đường thẳng song song
Hệ \(\begin{cases} -x + y = 2 \\ -2x + 2y = 8 \end{cases}\) có hai đường thẳng phân biệt cùng hệ số góc \(k = 1\) nên \(d_1 \parallel d_2\) ⇒ Hệ vô nghiệm.