Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Áp dụng giải các bài toán thực tế: quan hệ số học, chuyển động ngược chiều, công việc làm chung làm riêng, hợp kim và nồng độ.
Kiến thức, kĩ năng
Giải một số bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (toán chuyển động, quan hệ số học, năng suất công việc chung – riêng, hợp kim và nồng độ phần trăm).
Bài toán mở đầu (SGK trang 21)
Một vật có khối lượng \(124\text{ g}\) và thể tích \(15\text{ cm}^3\) là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng \(1\text{ cm}^3\) đồng nặng \(8{,}9\text{ g}\) và \(1\text{ cm}^3\) kẽm nặng \(7\text{ g}\).
Khám phá các bước giải hệ qua bài toán mở đầu
Xét bài toán ở tình huống mở đầu. Gọi \(x\) là số gam đồng, \(y\) là số gam kẽm cần tính (\(0 < x, y < 124\)).
Khối lượng tổng cộng của vật là \(124\text{ g}\). Hãy viết hệ thức liên hệ.
Xem lời giải HĐ1
Biết \(1\text{ cm}^3\) đồng nặng \(8{,}9\text{ g}\) và \(1\text{ cm}^3\) kẽm nặng \(7\text{ g}\). Hãy biểu thị thể tích của vật qua \(x\) và \(y\).
Xem lời giải HĐ2
Thể tích của \(x\text{ (g)}\) đồng là: \(\frac{x}{8{,}9}\text{ (cm}^3\text{)}\).
Thể tích của \(y\text{ (g)}\) kẽm là: \(\frac{y}{7}\text{ (cm}^3\text{)}\).
Vì tổng thể tích của vật bằng \(15\text{ cm}^3\) nên ta có phương trình:
Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) nhận được ở HĐ1 và HĐ2. Từ đó trả lời câu hỏi ở tình huống mở đầu.
Xem lời giải HĐ3
Ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} x + y = 124 \\ \frac{x}{8{,}9} + \frac{y}{7} = 15 \end{cases}\)
Từ phương trình đầu suy ra \(x = 124 - y\). Thế vào phương trình thứ hai:
\(\iff 868 - 7y + 8{,}9y = 934{,}5 \iff 1{,}9y = 66{,}5 \iff y = 35\)
Thay \(y = 35\) vào \(x = 124 - y\), ta được: \(x = 124 - 35 = 89\).
Cả hai giá trị \(x = 89\) và \(y = 35\) đều thoả mãn điều kiện của ẩn.
⇒ Vậy trong vật đó có \(89\text{ g}\) đồng và \(35\text{ g}\) kẽm.
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình:
Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số thích hợp.
Bước 3. Trả lời:
Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
Các dạng toán thực tế tiêu biểu
Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng \(1\,006\), biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là \(2\) và số dư là \(124\).
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 1
• Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\), trong đó \(x < y\). Số dư trong phép chia \(y\) cho \(x\) là \(124\) nên \(x > 124\). Vậy điều kiện của hai ẩn là \(x, y \in \mathbb{N}\) và \(124 < x < y\).
• Tổng hai số bằng \(1\,006\) nên ta có phương trình: \(x + y = 1\,006 \quad (1)\).
• Khi chia \(y\) cho \(x\) ta được thương là \(2\), dư \(124\) nên ta có phương trình: \(y = 2x + 124 \quad (2)\).
• Do đó, ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} x + y = 1\,006 \quad (1) \\ y = 2x + 124 \quad (2) \end{cases}\)
• Giải hệ: Từ (2) thế \(y = 2x + 124\) vào (1), ta được:
Từ đó ta được: \(y = 2 \cdot 294 + 124 = 712\).
• Các giá trị \(x = 294\) và \(y = 712\) thoả mãn điều kiện của ẩn.
⇒ Vậy hai số cần tìm là \(294\) và \(712\).
Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài \(170\text{ km}\). Sau khi xe khách xuất phát \(1\text{ giờ } 40\text{ phút}\), một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh (trên cùng một tuyến đường với xe khách) và gặp xe khách sau đó \(40\text{ phút}\). Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải \(15\text{ km}\).
Xem lời giải chi tiết Luyện tập 1
• Đổi đơn vị thời gian: \(1\text{ giờ } 40\text{ phút} = 1 + \frac{40}{60} = \frac{5}{3}\text{ giờ}\); \(40\text{ phút} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\text{ giờ}\).
• Gọi \(x\text{ (km/h)}\) là vận tốc của xe tải và \(y\text{ (km/h)}\) là vận tốc của xe khách (\(x, y > 0\)).
• Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải \(15\text{ km}\) nên ta có phương trình: \(y - x = 15 \iff y = x + 15 \quad (1)\).
• Thời gian xe khách đi từ lúc xuất phát cho đến lúc gặp nhau là: \(\frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\text{ (giờ)}\).
Quãng đường xe khách đã đi được là: \(\frac{7}{3}y\text{ (km)}\).
• Thời gian xe tải đi cho đến khi gặp nhau là: \(\frac{2}{3}\text{ (giờ)}\).
Quãng đường xe tải đã đi được là: \(\frac{2}{3}x\text{ (km)}\).
• Tổng quãng đường hai xe đã đi bằng quãng đường TP.HCM – Cần Thơ (\(170\text{ km}\)):
• Thế (1) vào (2), ta được:
Từ đó: \(y = 45 + 15 = 60\) (thoả mãn).
⇒ Vậy vận tốc của xe tải là \(45\text{ km/h}\) và vận tốc của xe khách là \(60\text{ km/h}\).
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong \(24\) ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất của mỗi đội là không đổi).
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 2
• Gọi \(x\) là số ngày để đội I hoàn thành công việc nếu làm một mình; \(y\) là số ngày để đội II hoàn thành công việc nếu làm một mình. Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).
• Trong một ngày, đội I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc) và đội II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).
• Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x} = 1{,}5 \cdot \frac{1}{y}\) hay \(\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\frac{1}{y} \quad (1)\).
• Hai đội làm chung trong \(24\) ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội làm chung được \(\frac{1}{24}\) (công việc). Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \quad (2)\).
• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{3}{2}\frac{1}{y} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \end{cases}\)
• Đặt \(u = \frac{1}{x}\) và \(v = \frac{1}{y}\) (\(u, v > 0\)), hệ trở thành: \(\begin{cases} u = \frac{3}{2}v \quad (3) \\ u + v = \frac{1}{24} \quad (4) \end{cases}\)
• Thế (3) vào (4), ta được: \(\frac{3}{2}v + v = \frac{1}{24} \iff \frac{5}{2}v = \frac{1}{24} \iff v = \frac{1}{60}\).
• Do đó: \(u = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{40}\).
• Từ đó ta có: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{40} \implies x = 40\); \(\frac{1}{y} = \frac{1}{60} \implies y = 60\) (thoả mãn điều kiện).
⇒ Trả lời: Nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong \(40\) ngày, còn đội II làm xong trong \(60\) ngày.
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong \(1\text{ giờ } 20\text{ phút}\). Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong \(10\text{ phút}\) và vòi thứ hai trong \(12\text{ phút}\) thì chỉ được \(\frac{2}{15}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?
Xem lời giải chi tiết Luyện tập 2
• Đổi đơn vị thời gian sang phút: \(1\text{ giờ } 20\text{ phút} = 80\text{ phút}\).
• Gọi \(x\) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể (phút); \(y\) là thời gian vòi II chảy một mình đầy bể (phút) (\(x, y > 80\)).
• Trong \(1\text{ phút}\), vòi I chảy được \(\frac{1}{x}\) bể; vòi II chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.
• Cả hai vòi cùng chảy trong \(80\text{ phút}\) thì đầy bể: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80} \quad (1)\).
• Vòi I mở trong \(10\text{ phút}\) và vòi II mở trong \(12\text{ phút}\) thì được \(\frac{2}{15}\) bể nước: \(\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \quad (2)\).
• Đặt \(u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}\), ta có hệ: \(\begin{cases} u + v = \frac{1}{80} \\ 10u + 12v = \frac{2}{15} \end{cases}\)
• Nhân phương trình thứ nhất với 10: \(10u + 10v = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}\).
• Lấy phương trình thứ hai trừ đi: \(2v = \frac{2}{15} - \frac{1}{8} = \frac{16 - 15}{120} = \frac{1}{120} \implies v = \frac{1}{240}\).
• Thay vào tìm \(u\): \(u = \frac{1}{80} - \frac{1}{240} = \frac{2}{240} = \frac{1}{120}\).
• Do đó: \(x = 120\text{ (phút)}\) và \(y = 240\text{ (phút)}\) (thoả mãn điều kiện).
⇒ Vậy mở riêng từng vòi thì vòi I chảy đầy bể sau \(120\text{ phút}\) (\(2\text{ giờ}\)), còn vòi II chảy đầy bể sau \(240\text{ phút}\) (\(4\text{ giờ}\)).