Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai
Nắm vững khái niệm căn bậc hai, căn thức bậc hai, điều kiện xác định và hằng đẳng thức căn của một bình phương căn(A^2) = |A|.
Ở lớp 7, các em đã làm quen với khái niệm căn bậc hai số học của một số thực không âm; biết cách so sánh và tính toán cơ bản. Trong chương này, chúng ta sẽ mở rộng khái niệm căn bậc hai số học sang tập số thực, tìm hiểu sâu sắc về căn thức bậc hai, các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai và khái niệm căn bậc ba.
Một ứng dụng kì thú: Đứng ở độ cao $h$ so với mặt đất, khoảng cách tối đa $D$ mà mắt người có thể nhìn thấy đường chân trời trên Trái Đất (bán kính $r$) được tính bởi công thức căn thức: $D = \sqrt{h^2 + 2rh}$.
Trong Vật lí, quãng đường $S$ (tính bằng mét) của một vật rơi tự do không vận tốc đầu được cho bởi công thức:
trong đó $t$ là thời gian rơi (tính bằng giây).
Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao $122{,}5\text{ mét}$?
Để tìm thời gian $t$, ta cần giải phương trình $4{,}9t^2 = 122{,}5$, tức là tìm một số dương $t$ thoả mãn $t^2 = 25$. Phép toán này dẫn ta đến khái niệm căn bậc hai số học.
Căn bậc hai
Khái niệm, nhận xét, tính bằng máy tính cầm tay và hằng đẳng thức $\sqrt{a^2} = |a|$
Tìm các số thực $x$ sao cho $x^2 = 49$.
Xem lời giải chi tiết
Ta có: $7^2 = 49$ và $(-7)^2 = 49$.
Vậy có hai số thực $x$ thoả mãn $x^2 = 49$ là $x = 7$ và $x = -7$.
Căn bậc hai của số thực không âm $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$.
Nhận xét quan trọng:
• Số âm không có căn bậc hai (vì bình phương của mọi số thực đều không âm: $x^2 \ge 0$).
• Số $0$ có đúng một căn bậc hai duy nhất là $0$ (vì $0^2 = 0$, viết là $\sqrt{0} = 0$).
• Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là: $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của $a$) và $-\sqrt{a}$.
Xem lời giải chi tiết
Ta có $\sqrt{81} = 9$ (vì $9 > 0$ và $9^2 = 81$).
Do đó số $81$ có hai căn bậc hai đối nhau là $9$ và $-9$.
Xem lời giải chi tiết
Ta có $\sqrt{121} = 11$ (vì $11 > 0$ và $11^2 = 121$).
Vậy số $121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $-11$.
Để tìm các căn bậc hai của một số dương $a > 0$, ta sử dụng phím căn bậc hai √ trên MTCT để tính giá trị $\sqrt{a}$, từ đó suy ra hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.
Sử dụng MTCT, tính căn bậc hai của $11{,}1$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Xem lời giải chi tiết
Bấm các phím: √ 1 1 . 1 =
Màn hình hiện kết quả: $3{,}33166625...$
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta được: $\sqrt{11{,}1} \approx 3{,}33$.
Vậy hai căn bậc hai của $11{,}1$ là $3{,}33$ và $-3{,}33$.
Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.
Xem lời giải chi tiết
Sử dụng MTCT bấm $\sqrt{\frac{7}{11}}$, màn hình hiển thị: $0{,}797724...$
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ta được: $\sqrt{\frac{7}{11}} \approx 0{,}80$.
Vậy hai căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ xấp xỉ là $0{,}80$ và $-0{,}80$.
Tính và so sánh $\sqrt{a^2}$ và $|a|$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $a = 3$; b) $a = -3$.
Xem lời giải chi tiết
• a) Với $a = 3$:
$\sqrt{a^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$.
$|a| = |3| = 3$.
Suy ra $\sqrt{3^2} = |3| = 3$.
• b) Với $a = -3$:
$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$|a| = |-3| = 3$.
Suy ra $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.
Nhận xét: Trong cả hai trường hợp, ta luôn có $\sqrt{a^2} = |a|$.
Do đó: $\sqrt{a^2} = a$ khi $a \ge 0$, và $\sqrt{a^2} = -a$ khi $a < 0$.
a) $1 - \sqrt{2} + \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2}$;
b) $\sqrt{(-3)^2} + 3$.
Xem lời giải chi tiết
• a) $1 - \sqrt{2} + \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2}$:
Vì $1 + \sqrt{2} > 0$ nên $\sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = |1 + \sqrt{2}| = 1 + \sqrt{2}$.
Do đó: $1 - \sqrt{2} + (1 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 2$.
• b) $\sqrt{(-3)^2} + 3$:
$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.
Do đó: $3 + 3 = 6$.
a) Tính: $\sqrt{6^2}; \quad \sqrt{(-5)^2}; \quad \sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2}$.
b) So sánh $3$ với $\sqrt{10}$ bằng hai cách (dùng MTCT và dùng tính chất $0 \le a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$).
Xem lời giải chi tiết
• a) Tính:
- $\sqrt{6^2} = |6| = 6$.
- $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.
- $\sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - (\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 = 1$ (do $\sqrt{5} > 1 \implies \sqrt{5} - 1 > 0$).
• b) So sánh $3$ với $\sqrt{10}$:
Cách 1 (Dùng MTCT): Bấm $\sqrt{10} \approx 3{,}162... > 3$, do đó $3 < \sqrt{10}$.
Cách 2 (So sánh căn bậc hai số học): Ta có $3 = \sqrt{9}$. Vì $0 \le 9 < 10$ nên $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, tức là $3 < \sqrt{10}$.
Căn thức bậc hai
Khái niệm, điều kiện xác định và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ cho biểu thức đại số
Viết biểu thức tính độ dài cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$, biết hai cạnh góc vuông là $AB = 3\text{ cm}$ và $AC = x\text{ cm}$.
Biểu thức nhận được có dạng $\sqrt{A}$, trong đó $A = x^2 + 9$ là một biểu thức đại số chứa biến $x$.
Xem lời giải chi tiết
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + x^2 = 9 + x^2 = x^2 + 9$.
Vì $BC > 0$ nên: $BC = \sqrt{x^2 + 9}$ (cm).
Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số. $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.
Cho biểu thức $C = \sqrt{2x - 1}$:
a) Tính giá trị của biểu thức tại $x = 5$.
b) Tại $x = 0$ có tính được giá trị của biểu thức không? Vì sao?
Xem lời giải chi tiết
• a) Tại $x = 5$: Ta có $2(5) - 1 = 10 - 1 = 9 \ge 0$.
Do đó $C = \sqrt{9} = 3$.
• b) Tại $x = 0$: Ta có $2(0) - 1 = -1 < 0$.
Vì số âm không có căn bậc hai nên tại $x = 0$ không tính được giá trị của biểu thức $C$.
$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A$ lấy giá trị không âm, tức là:
Ta gọi $A \ge 0$ là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$.
a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.
b) Tính giá trị của căn thức đã cho tại $x = 0$ và $x = 4$.
Xem lời giải chi tiết
• a) Điều kiện xác định: Biểu thức dưới dấu căn phải không âm:
$2x + 1 \ge 0 \iff 2x \ge -1 \iff x \ge -\frac{1}{2}$.
• b) Tính giá trị:
- Tại $x = 0 \ge -\frac{1}{2}$ (thoả mãn ĐKXĐ): Giá trị căn thức là $\sqrt{2(0) + 1} = \sqrt{1} = 1$.
- Tại $x = 4 \ge -\frac{1}{2}$ (thoả mãn ĐKXĐ): Giá trị căn thức là $\sqrt{2(4) + 1} = \sqrt{9} = 3$.
a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.
b) Tính giá trị của căn thức tại $x = 2$.
Xem lời giải chi tiết
• a) Điều kiện xác định của $\sqrt{5 - 2x}$:
$5 - 2x \ge 0 \iff -2x \ge -5 \iff x \le \frac{-5}{-2} \iff x \le \frac{5}{2}$ (hay $x \le 2{,}5$).
• b) Tính giá trị tại $x = 2$:
Vì $2 \le 2{,}5$ (thoả mãn ĐKXĐ), thay $x = 2$ vào căn thức ta được:
$\sqrt{5 - 2(2)} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$.
Với $A$ là một biểu thức đại số, ta luôn có:
Khi $A \ge 0$:
$\sqrt{A} \ge 0$ và $(\sqrt{A})^2 = A$
Với mọi biểu thức $A$:
$\sqrt{A^2} = |A| = \begin{cases} A & \text{khi } A \ge 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases}$
a) $(\sqrt{1 - x})^2$ với $x < 0$;
b) $\sqrt{1 - 2x + x^2}$ với $x > 2$.
Xem lời giải chi tiết
• a) $(\sqrt{1 - x})^2$ với $x < 0$:
Vì $x < 0$ nên $1 - x > 1 > 0$. Áp dụng $(\sqrt{A})^2 = A$ khi $A \ge 0$, ta có: $(\sqrt{1 - x})^2 = 1 - x$.
• b) $\sqrt{1 - 2x + x^2}$ với $x > 2$:
Ta có: $1 - 2x + x^2 = (1 - x)^2$ (hoặc $(x - 1)^2$).
$\sqrt{(1 - x)^2} = |1 - x|$.
Vì $x > 2$ nên $1 - x < 1 - 2 = -1 < 0 \implies |1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.
Vậy $\sqrt{1 - 2x + x^2} = x - 1$ với $x > 2$.
a) Rút gọn biểu thức $x\sqrt{x^6}$ với $x < 0$.
b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $x + \sqrt{4x^2 - 4x + 1}$ tại $x = -2{,}5$.
Xem lời giải chi tiết
• a) Rút gọn $x\sqrt{x^6}$ với $x < 0$:
Ta có: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.
Vì $x < 0 \implies x^3 < 0 \implies |x^3| = -x^3$.
Do đó: $x\sqrt{x^6} = x \cdot (-x^3) = -x^4$.
• b) Rút gọn và tính giá trị $x + \sqrt{4x^2 - 4x + 1}$ tại $x = -2{,}5$:
Ta có: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 \implies \sqrt{4x^2 - 4x + 1} = |2x - 1|$.
Tại $x = -2{,}5$, ta có $2(-2{,}5) - 1 = -5 - 1 = -6 < 0 \implies |2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x$.
Biểu thức trở thành: $x + (1 - 2x) = 1 - x$.
Thay $x = -2{,}5$ vào: $1 - (-2{,}5) = 1 + 2{,}5 = 3{,}5$.
a) Viết công thức tính thời gian $t$ (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường $S$ (mét).
b) Sử dụng công thức tìm được ở câu a, hãy trả lời câu hỏi: vật được thả rơi tự do từ độ cao $122{,}5\text{ m}$ sẽ chạm đất sau bao nhiêu giây?
Xem lời giải chi tiết
• a) Viết công thức tính thời gian $t$:
Từ công thức rơi tự do $S = 4{,}9t^2$, chia cả hai vế cho $4{,}9 > 0$ ta được: $t^2 = \frac{S}{4{,}9}$.
Vì thời gian $t > 0$ nên lấy căn bậc hai số học cả hai vế:
$$t = \sqrt{\frac{S}{4{,}9}} \quad (\text{giây})$$
• b) Tính thời gian khi vật thả rơi từ độ cao $122{,}5\text{ m}$:
Thay $S = 122{,}5$ vào công thức:
$$t = \sqrt{\frac{122{,}5}{4{,}9}} = \sqrt{25} = 5 \quad (\text{giây})$$
Kết luận: Sau $5$ giây thì vật sẽ chạm đất.
Để chuẩn bị trồng cây xanh trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích $S \approx 2\text{ m}^2$.
Từ công thức diện tích $S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, ta tính được đường kính ô đất:
$$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \approx 1{,}59576 \approx 1{,}60\text{ m}$$
Vậy mỗi ô đất có đường kính ước lượng khoảng $1{,}6\text{ mét}$.
- Căn bậc hai của số $a \ge 0$: Là số $x$ sao cho $x^2 = a$. Với $a > 0$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.
- Căn thức bậc hai $\sqrt{A}$ xác định $\iff A \ge 0$.
- Hằng đẳng thức: $\sqrt{A^2} = |A| = \begin{cases} A & \text{khi } A \ge 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases}$.
- Bình phương của căn thức: $(\sqrt{A})^2 = A$ khi $A \ge 0$.