Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

• Ta có: $\sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = 10 \cdot 2 = 20$.

• Mặt khác: $\sqrt{100 \cdot 4} = \sqrt{400} = 20$.

Nhận xét: $\sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = \sqrt{100 \cdot 4} = 20$.

• a) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$:

$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81} = 9$.

• b) $\sqrt{5}(\sqrt{125} + \sqrt{5})$:

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{125} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 125} + \sqrt{5^2} = \sqrt{625} + 5 = 25 + 5 = 30$.

Với $x \ge 0$:

$\sqrt{5x} \cdot \sqrt{20x} = \sqrt{5x \cdot 20x} = \sqrt{100x^2} = \sqrt{(10x)^2} = |10x|$.

Vì $x \ge 0 \implies 10x \ge 0 \implies |10x| = 10x$.

Vậy $\sqrt{5x} \cdot \sqrt{20x} = 10x$.

• a) Tính $\sqrt{3} \cdot \sqrt{75}$:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 75} = \sqrt{225} = 15$.

• b) Rút gọn $\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab}$ với $a < 0, b < 0$:

Ta có: $a < 0, b < 0 \implies ab > 0 \implies 5ab > 0$ và $5ab^3 = 5ab \cdot b^2 > 0$ nên căn thức có nghĩa.

$\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab} = \sqrt{5ab^3 \cdot 5ab} = \sqrt{25a^2 b^4} = \sqrt{(5ab^2)^2} = |5ab^2|$.

Vì $a < 0$ và $b^2 > 0 \implies 5ab^2 < 0 \implies |5ab^2| = -5ab^2$.

Vậy kết quả rút gọn là: $-5ab^2$.

Áp dụng quy tắc khai phương một tích:

$\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Theo giả thiết $a \ge 0, b < 0$:

$\sqrt{25a^2 b^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = 5 \cdot |a| \cdot |b|$.

Vì $a \ge 0 \implies |a| = a$; vì $b < 0 \implies |b| = -b$.

Do đó: $5 \cdot a \cdot (-b) = -5ab$.

• a) Tính nhanh $\sqrt{25 \cdot 49}$:

$\sqrt{25 \cdot 49} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{49} = 5 \cdot 7 = 35$.

• b) Phân tích thành nhân tử $\sqrt{ab} - 4\sqrt{a}$ với $a \ge 0, b \ge 0$:

Vì $a \ge 0, b \ge 0$ nên $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Biểu thức trở thành: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} - 4\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{b} - 4)$.

• Ta có: $\sqrt{100} : \sqrt{4} = 10 : 2 = 5$.

• Mặt khác: $\sqrt{100 : 4} = \sqrt{25} = 5$.

Nhận xét: $\sqrt{100} : \sqrt{4} = \sqrt{100 : 4} = 5$.

• a) $\sqrt{8} : \sqrt{2}$:

$\sqrt{8} : \sqrt{2} = \sqrt{8 : 2} = \sqrt{4} = 2$.

• b) $\sqrt{52a^3} : \sqrt{13a}$ với $a > 0$:

$\sqrt{52a^3 : 13a} = \sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = |2a| = 2a$ (do $a > 0$).

• a) Tính $\sqrt{18} : \sqrt{50}$:

$\sqrt{18} : \sqrt{50} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.

• b) Rút gọn $\sqrt{16ab^2} : \sqrt{4a}$ với $a > 0, b < 0$:

$\sqrt{\frac{16ab^2}{4a}} = \sqrt{4b^2} = \sqrt{(2b)^2} = |2b|$.

Vì $b < 0 \implies 2b < 0 \implies |2b| = -2b$.

Vậy kết quả rút gọn là: $-2b$.

• a) Tính $\sqrt{1{,}69}$:

Ta có: $1{,}69 = \frac{169}{100} = \frac{13^2}{10^2}$.

Suy ra: $\sqrt{1{,}69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}} = \frac{13}{10} = 1{,}3$.

• b) Rút gọn $a \cdot \sqrt{\frac{2}{a^2}}$ với $a > 0$:

$a \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a^2}} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{|a|} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$ (do $a > 0 \implies |a| = a$).

• a) Tính $\sqrt{6{,}25}$:

Ta có: $6{,}25 = \frac{625}{100} \implies \sqrt{6{,}25} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{100}} = \frac{25}{10} = 2{,}5$.

• b) Rút gọn $(a^2 - 1) \cdot \sqrt{\frac{5}{(a - 1)^2}}$ với $a > 1$:

Vì $a > 1 \implies a - 1 > 0 \implies \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1| = a - 1$.

Biểu thức trở thành: $(a^2 - 1) \cdot \frac{\sqrt{5}}{a - 1} = (a - 1)(a + 1) \cdot \frac{\sqrt{5}}{a - 1} = \sqrt{5}(a + 1)$.