Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi chúng có duy nhất một điểm chung nằm giữa hai tâm $O$ và $O'$. Khi đó khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính:

$OO' = R + R'$

Hai đường tròn tiếp xúc trong khi chúng có duy nhất một điểm chung và đường tròn nhỏ nằm bên trong đường tròn lớn. Khi đó khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu hai bán kính:

$OO' = R - R' > 0$

Vì $OA = OB = R$ nên điểm $O$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Vì $O'A = O'B = R'$ nên điểm $O'$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Do đó, đường thẳng nối hai tâm $OO'$ chính là đường trung trực của dây chung $AB$ (vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$).

Ta có $R = 3\text{ cm}$, $R' = 3\text{ cm}$ và $OO' = 5\text{ cm}$.

Hiệu hai bán kính: $|R - R'| = |3 - 3| = 0\text{ cm}$.

Tổng hai bán kính: $R + R' = 3 + 3 = 6\text{ cm}$.

Vì $0 < 5 < 6$, tức là $|R - R'| < OO' < R + R'$, nên hai đường tròn cắt nhau.

Ta có $R = 3\text{ cm}$, $R' = 1\text{ cm}$ và $OO' = 5\text{ cm}$.

Tổng hai bán kính: $R + R' = 3 + 1 = 4\text{ cm}$.

Vì $OO' = 5\text{ cm} > 4\text{ cm} = R + R'$ nên hai đường tròn ở ngoài nhau.

Ta có $R' = 8\text{ cm}$, $R = 3\text{ cm}$ và $OO' = 5\text{ cm}$.

Hiệu hai bán kính: $R' - R = 8 - 3 = 5\text{ cm}$.

Vì $OO' = 5\text{ cm} = R' - R$ nên hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.

Ta có $R = 5\text{ cm}$, $r = 4\text{ cm}$ và $OI = 2\text{ cm}$.

Hiệu hai bán kính: $R - r = 5 - 4 = 1\text{ cm}$.

Tổng hai bán kính: $R + r = 5 + 4 = 9\text{ cm}$.

Vì $1\text{ cm} < 2\text{ cm} < 9\text{ cm}$ ($R - r < OI < R + r$) nên hai đường tròn cắt nhau.

Ta có $R = 8\text{ cm}$, $R' = 5\text{ cm}$ và $OO' = 3\text{ cm}$.

Vì $OO' = 3 = 8 - 5 = R - R'$ nên hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.

Vì $A$ nằm giữa $O$ và $O'$ nên ta có hệ thức độ dài:

$OO' = OA + O'A$

Khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính, do đó hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ tiếp xúc ngoài tại điểm $A$.

Vì $O$ nằm giữa $A$ và $O'$ nên $O'A = O'O + OA$, suy ra:

$OO' = O'A - OA$

Vì bán kính đường tròn $(O')$ là $R' = O'A > OA = R$ và khoảng cách nối tâm bằng hiệu hai bán kính nên đường tròn $(O'; O'A)$ tiếp xúc trong với đường tròn $(O; OA)$ tại $A$.

Vì $A, B \in (O)$ nên $A', B'$ đối xứng với $A, B$ qua tâm $O$ cũng thuộc đường tròn $(O)$. Do đó $A'B'$ là một dây cung của $(O)$.

Đường trung trực của bất kì dây cung nào của đường tròn đều đi qua tâm $O$. Mà mọi đường thẳng đi qua tâm đều là trục đối xứng của đường tròn, do đó đường trung trực của $A'B'$ là một trục đối xứng của $(O)$.

Vì $\triangle BHC$ vuông tại $H$ nên trung điểm $O$ của $BC$ cách đều $B, C, H$ ($HO = \frac{BC}{2}$).

Vì $\triangle BKC$ vuông tại $K$ nên trung điểm $O$ của $BC$ cách đều $B, C, K$ ($KO = \frac{BC}{2}$).

Do đó cả bốn điểm $B, C, H, K$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$.

Bốn điểm $B, C, H, K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Trong đường tròn này, $BC$ là đường kính, còn $KH$ là một dây cung không đi qua tâm (do tam giác $ABC$ không vuông). Theo định lý so sánh đường kính và dây: trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. Do đó:

$KH < BC$

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung $90^\circ$ là $S_q = \frac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \frac{1}{4}\pi R^2$.

Diện tích tam giác vuông cân chắn cung đó là $S_t = \frac{1}{2}R^2$.

Diện tích hình viên phân là:

$S = S_q - S_t = \frac{1}{4}\pi R^2 - \frac{1}{2}R^2 = R^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)$

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 40^\circ$ nên $\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. Tam giác $OBK$ cân tại $O$ (vì $OB = OK = R$) nên:

$\widehat{BOK} = 180^\circ - 2 \times 70^\circ = 40^\circ$.

Tương tự $\widehat{COH} = 40^\circ$. Vì ba điểm $B, O, C$ thẳng hàng nên góc ở tâm $\widehat{KOH}$ là:

$\widehat{KOH} = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$.

Vậy số đo của cung nhỏ $KH$ là $100^\circ$.