Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Quy đồng nhân 10 hai vế: $x^2 + 25x - 2 = 0$.

$$\Delta = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 625 + 8 = 633.$$

$$x_1 = \frac{-25 + \sqrt{633}}{2} \approx 0{,}0797 \approx 0{,}08; \quad x_2 = \frac{-25 - \sqrt{633}}{2} \approx -25{,}0797 \approx -25{,}08.$$

Nhân 100 cả hai vế: $x^2 - 5x + 6{,}25 = 0$.

Nhận xét: $x^2 - 2 \cdot 2{,}5x + 2{,}5^2 = (x - 2{,}5)^2 = 0 \implies x = 2{,}5$.

Khi vật chạm đất thì độ cao $h = 0$:

$$19{,}6t - 4{,}9t^2 = 0 \iff 4{,}9t(4 - t) = 0.$$

Vì $t > 0$ (thời điểm sau khi phóng) nên $4 - t = 0 \iff t = 4\text{ (giây)}$.

Gọi chiều rộng là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$), chiều dài là $x + 6\text{ (m)}$.

Theo đề bài ta có phương trình: $x(x + 6) = 280 \iff x^2 + 6x - 280 = 0$.

$$\Delta' = 3^2 - 1 \cdot (-280) = 9 + 280 = 289 = 17^2.$$

Nghiệm: $x = -3 + 17 = 14$ (thoả mãn) hoặc $x = -3 - 17 = -20$ (loại).

Vậy chiều rộng là $14\text{ m}$, chiều dài là $14 + 6 = 20\text{ m}$.

Theo định lí Viète, nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

Phương trình $x^2 - 12x + 8 = 0$ có $a = 1, b = -12, c = 8$.

Biệt thức $\Delta' = (-6)^2 - 1 \cdot 8 = 28 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète:

• $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{1} = 12$
• $P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 8$

Phương trình có $a = 2, b = 11, c = -5$.

Vì $a \cdot c = 2 \cdot (-5) = -10 < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète:

• $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{11}{2}$
• $P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2} = -\frac{5}{2}$

Phương trình có $a = 3, b = 0, c = -10$.

Vì $ac = -30 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt đối nhau.

Theo định lí Viète:

• $S = x_1 + x_2 = -\frac{0}{3} = 0$
• $P = x_1 x_2 = \frac{-10}{3} = -\frac{10}{3}$

Xét phương trình $x^2 - x + 3 = 0$ có biệt thức:

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$$

Do $\Delta < 0$, phương trình vô nghiệm. Vì phương trình không có nghiệm nên không có tổng và tích hai nghiệm.

Phương trình $2x^2 - 9x + 7 = 0$ có $a = 2, b = -9, c = 7$.

Nhận thấy: $a + b + c = 2 + (-9) + 7 = 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm:

• $x_1 = 1$
• $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{2} = 3{,}5$

Phương trình $3x^2 + 11x + 8 = 0$ có $a = 3, b = 11, c = 8$.

Nhận thấy: $a - b + c = 3 - 11 + 8 = 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm:

• $x_1 = -1$
• $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{8}{3}$

Theo định lí Viète, tích hai nghiệm của phương trình là:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{7}$$

Thay $x_1 = 2$ vào ta được:

$$2 \cdot x_2 = \frac{2}{7} \implies x_2 = \frac{2}{7} : 2 = \frac{1}{7}$$

Hai số $u, v$ là hai nghiệm của phương trình:

$$x^2 - 20x + 99 = 0$$

Biệt thức $\Delta' = (-10)^2 - 99 = 1 > 0 \implies \sqrt{\Delta'} = 1$.

Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 10 - 1 = 9; \quad x_2 = 10 + 1 = 11$.

Vậy $(u; v)$ là $(9; 11)$ hoặc $(11; 9)$.

Ta có $S = 2$ và $P = 15$.

Xét điều kiện có hai số: $S^2 - 4P = 2^2 - 4 \cdot 15 = 4 - 60 = -56 < 0$.

Do $S^2 - 4P < 0$, phương trình $x^2 - 2x + 15 = 0$ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số thực $u, v$ nào thỏa mãn điều kiện đề bài.